Rechnen mit komplexen Zahlen

Question

Gegebene Zahlen \( z_{1}=12-5 i, ~ z_{2}=i-7, ~ z_{3}=4-4 i \).

Zu lösen:

$$ \frac{\sqrt{2} \cdot\left|\operatorname{Im}\left(z_{1}\right)\right|+\operatorname{Re}\left(\left|z_{3}\right|\right)}{\overline{\operatorname{Im}\left(z_{1}\right)}+\operatorname{Im}\left(\overline{z_{3}}\right)+\operatorname{Im}\left(\left|z_{2}\right|\right)} $$

Comments

Vereinfache zunächst mal:

Hier dazu einige Ideen:

|z| ist eine reelle Zahl. Daher ist Re(|z|) = Im(|z|) = |z|.

Weiter ist Konj(Im(z)) = Im(z).

...

Der Term ist also künstlich aufgebläht. Vereinfache, bevor Du Zahlen erscheinen lässt.

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Ich denke nicht das folgendes immer gilt.

Re(|z|) = Im(|z|)

Folgendes sehe ich aber auch so

Konj(Im(z)) = Im(z)

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Stimmt, das ist Unsinn. Es ist

Re(|z|) = |z| und

Im(|z|) = 0.

Answer 1

Hier meine Ideen dazu. Schau mal ob das dir weiterhilft.

\( z_{1}=12-5 i \quad z_{2}=i-7 \quad z_{3}=4-4 i \)

\( \operatorname{lm}\left(z_{1}\right)=-5 \quad|-5|=5 \)

\( \left|z_{3}\right|=4 \sqrt{2} \quad R_{e}(4 \sqrt{2})=4 \sqrt{2} \)

\( \operatorname{lm}\left(z_{1}\right)=-5 \quad \overline{-5}=-5 \)

\( \overline{z_{3}}=4+4 i \quad \operatorname{lm}(4 i)=4 \)

\( \left|z_{2}\right|=5 \sqrt{2} \quad \operatorname{lm} \left(5 \sqrt{2}\right)=0 \)

\( \frac{\sqrt{2} \cdot 5+4 \sqrt{2}}{-5+4+0}=-9 \sqrt{2} \)

Comments

Ein Fehler hab ich schon entdeckt. Der wirkt sich aber nicht aus.

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Wieso ist Re(|z3|) =4 √(2)?

Im(z1) = -5 verstehe ich auch nicht.

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Re( | z₃ | ) = | z₃ | = | 4 - 4*i | = √( 4² + (-4)² ) = √32 = 4*√(2).

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Was verstehst Du daran nicht? Lies die Definition von Real- und Imaginärteil nach.

Außerdem ist es einfacher zu antworten, wenn Du nicht Im(z1) schreiben würdes, sondern Im( 12 - 5*i ), dann muss man nicht ständig scrollen.

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Okay danke dann ist:

Im(z1) = im(12-5i)  = -5  = 5 korrekt?

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Ist der Betrag von z3 nicht 4 * √2 ?

|z3| = √(4^2 + 4^2) = √32 = √(16 * 2) = 4 * √2

Ist nicht der Realanteil einer reellen Zahl die Zahl selber ?

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... = -5  = 5 ist das korrrkt ;)?

"-5  = 5" so ist das sicher nicht korrekt

Ne, offensichtlich nicht. Wie kommst Du denn darauf?

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Dir - 5 ist doch konjuktiv oder nicht? Da war doch oben ein Strich.

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Achso! Dann ist das aber immer noch falsch, da das Konjugieren reeller Zahlen die Zahlen ja nicht verändert.

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also

konj(- 5)

Was passiert durch das konjugieren ? Wie habe ich das oben in meiner handschriftlichen Aufzeichnung bewertet? Dreht sich bei einer Konjugation nicht nur der Imaginärteil um ?

Schreibe -5 komplex als - 5 + 0i dann ist

konj(- 5 + 0i) = - 5 - 0i = -5

oder ist die Konjugation für ganze Zahlen anders definiert?