Kurvendiskussion von Polynomfunktion. Monotonie und Krümmung ohne Skizze nachweisen

Question

1) Krümmung

also bei rechtskrümmung und linkskrümmung wie kann ich es ohne skizze nachweisen??

also bei rechtskrümmung ist die 2. Ableitung kleiner null

und die y'(x1) > 0    y'(x2) < 0 und mehr weiß ich nicht

2) Monotonie

hochpunkt und tiefpunkt wie kann ich es beweisen also bei hochpunkt

gilt: y'(x1) > 0    y'(x2) < 0

können sie es genauer hinschreiben???

                         danke

Comments

1. Das sollten jeweils die 2. Ableitungen sein, oder?

2. Was ist genau die Frage? Soll man dir ein Beispiel vorrechnen? Die angegebenen Ungleichungen kann man ohne Skizze wohl nicht verstehen und auch nicht beweisen.

Answer 1

Nicht gekrümmt:
f ''(x) = 0

Rechtskrümmung: 
f ''(x) < 0

Linkskrümmung:
f ''(x) > 0

Hochpunkt:
f '(x) = 0 [Notwendige Bedingung]
f''(x) < 0 [hinreichende Bedingung]

Tiefpunkt:
f '(x) = 0 [Notwendige Bedingung]
f''(x) > 0 [hinreichende Bedingung]

Zwischen zwei benachbarten Extrempunkten ist eine Funktion immer monoton steigend oder fallend. Zwischen einem Tief- und Hochpunkt immer monoton steigend und zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt immer monoton fallend.