Zwei Werte für u berechnen, für die ein Dreieck (QBP) gleichschenklig ist:

Question

:-)

Ich habe noch eine Aufgabe (Prüfungsaufgabe) welche mir noch unklar ist.

Die Frage lautet: Die Punkte Q(-2 / -3), B(2 / -3) und P (u/f(u)) sind die Ecktpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie zwei Werte für u, für die das Dreieck QBP gleichschenklig ist.

Funktion f mit f(x)= x^{3} - x^{2} - 4x + 1.

Wie muss man hier vorgehen? So eine Aufgabe habe ich bis jetzt noch nicht behandelt (Nur Extremwertaufgaben!).

Grüße Florean :-)

Answer 1

Hallo Florean,

eine Möglichkeit wäre folgende:

Der Punkt P hat die Koordinaten (0|f(0)) und liegt damit genau zwischen Q und B:

P(0|1)

Eine zweite Möglichkeit, die ich aber so einfach nicht berechnen kann, wäre ein Punkt P ebenfalls auf dem Graphen von f(x), der von Q genau 4 Einheiten entfernt ist. Dann wären die beiden Schenkel QB und QP.

Ich hoffe, das bringt Dich wenigstens ein Stückchen weiter!

Besten Gruß

Comments

Hi Bruce :-)

Auf jeden Fall! Somit sind die Hälfte der Punkte im Sack (Die anderen knacke ich noch :-)).

Danke dir :-)

Grüße und noch tollen Sonntag Abend

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Gern geschehen :-)

Einen tollen Abend wünsche ich Dir auch!!

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Keine Ursache :-D

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@Florean:

Ich glaube, ich weiß jetzt auch ansatzweise, wie man den zweiten Punkt berechnet, nennen wir ihn P₂.

Er muss ja etwas weiter rechts als P liegen, denn aus obiger Graphik sieht man, dass die Strecke QP ca. 4,47 Einheiten lang ist; wir müssen ja auf 4 Einheiten kommen, wie vom Mathecoach richtig angeführt.

Dann können wir vom Punkt P₂ ein Lot auf QB fällen und erhalten ein rechtwinkliges Dreieck :-)

Hypotenuse ist dann die gesuchte Strecke QP₂, eine Kathete ist 2 + u, die andere Kathete ist f(u) + 3.

Also QP₂² = (2 + u)² + (f(u) + 3)²

Da wir wissen, dass QP₂² = 16 sein muss, ergibt sich

(2 + u)² + (f(u) + 3)² = 16

Ob man das jetzt konkret berechnen kann, weiß ich nicht; wahrscheinlich kommt man um ein Annäherungsverfahren wirklich nicht herum :-(

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Gern geschehen!

Aber das wusstest Du ja auch schon vom Mathecoach :-)

Answer 2

Wenn QB die Basis ist dann ist sicher P(2 ; f(2)) so ein gesuchter Punkt

Ansonsten brauchen wir Punkte die von Q oder B genau 4 LE entfernt liegen. Eigentlich solltest du mit der Bedingung jetzt klar kommen oder?

Eine Bedingung wäre dann

(f(x) + 3)^2 + (x + 2)^2 = 4^2

Ich finde hier aber auch nur eine Näherungslösung z.B. durch das Newtonverfahren.

Comments

Hi Mathecoach :-)

d(x) also mit dem Wert 4 gleichsetzen? Bzw. wie bist du auf den Wert 4 gekommen?

d(x)= √((x+x_A)² + (f(x) - y_A)²) = 4
d^{2}(x)= (x+x_A)² + (f(x) - y_A)² = 4^{2}

Und dann die Nullstellen von d^{2}(x) berechnen, oder?

Grüße Florean :-)

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Wie groß ist der Absatand von Q und B ?

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Jetzt hast du mich! :-D
Natürlich 4.

Und von d^{2}(x) also die Nullstellen berechnen um weitere u Werte zu finden?

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Richtig. Das ist eine wundervolle Gleichung 6. Grades. Da man aber eine Lösung kennt reduziert die sich zum 5 Grades. Anhand der Graphik kannst du den Wertebereich einschränken und bekommst recht einfach die Lösungen.