An welchen Stellen haben die Funktion f(x) = x^n die Steigung 1?

Question

An welchen Stellen haben die Funktionen zu f mit f(x)=xⁿ  mit n ∈ Z die Steigung 1.

Answer 1

f(x) = x^n

f'(x) = n·x^{n - 1} = 1

x^{n - 1} = 1/n

x = (1/n)^{1/(n - 1)}

Comments

Die Antwort ist in dieser Form falsch. Wozu ist sie nützlich?

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Um die Kritik meines Vorredners explizit zu machen: Im Fall n gleich 0 bzw. 1 ist der Ausdruck \( (1/n)^{n-1} \) nicht definiert. Im Fall n=1 erfüllen alle x die Forderung, im Fall n=0 keine.

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@hh183
Was ist an der Antwort falsch ?

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Die Frage wäre, ob man wirklich solche Deutungen einer Lösung für den Fragesteller übernehmen sollte oder ob der Fragesteller nicht auch noch ein klein wenig selber tun darf.

Das ein Bruch nicht definiert ist wenn der Nenner Null wird sollte der Fragesteller denke ich können. Also könnte er auch ergründen bei welchen Werten von n die auftretenden Nenner 0 werden.

Dann könnte er selbständig überlegen was mit f(x) passiert wenn ich diese Werte für n Einsetze. Und sich auch überlegen an welchen Stellen die Funktionen dann die Steigung 1 haben.

Es kann hilfreich sein sich auch die Funktion f(x) = x^n für verschiedene Werte von n mal aufzuzeichnen. Ich würde mal Werte von -3 bis 3 für n nehmen.

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Dein Kommentar ist gelungen und er entspricht genau
meinem Empfinden. Dasselbe dachte ich auch.

Dem Fragesteller ist wohl eine weitere Untersuchung deiner Lösung,
bei Bedarf, zu empfehlen.

Außerdem hat der Fragesteller dir den Stern für die beste Antwort gegeben.
Er scheint wohl damit zufrieden zu sein.

Ein weiteres Kennzeichen von " Trollen " oder Kommentatoren mit
" trollähnlichem Verhalten " ist, das wenn der Punkt über dem
i fehlt hier ein " Geschrei " abgehalten wird.  Gebt doch besser ein
paar gescheite Antworten.

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Der, der hier am lautesten "rumschreit" ist doch georgborn, oder?
Und georgborn ist es wohl auch, der entscheidet, wann eine Antwort "gescheit" ist; siehe die Antwort von immai.

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Ich wüßte nicht das ich hier " schreien " würde.
Ich habe hier noch nie entschieden ob eine Antwort  " gescheit " ist.
Deine Aussagen sind also falsch.

Meine Antworten wurden von den Fragestellern in einem Jahr 293
Mal als beste Antwort bewertet. Wie viele Male ist das bei dir
geschehen ?

Du würdest mir wirklich eine Freude machen wenn du  von " destruktiv "
auf " konstruktiv " umschalten würdest.

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@mathecoach
bei meiner Lösungsvariante kommt ln ( n ) vor
weshalb bei mir der Def-Bereich n > 0 ist.
Bei deiner Lösung nicht.
Wo ist bei mir der Fehler ?

Answer 2

Stelle die Gleichung $$ f'(x) = 1 $$ auf und löse sie für sinnvoll unterschiedene Fälle von n.

Comments

Wozu ist diese Antwort nützlich ?

Answer 3

F(x)=x^{n} ableiten

F'(x)=n×x^{n-1} dann gleichsetzen.

1=n×x^{n-1}

Alles klar?

Comments

Immai, der Mathecoach ging mit seiner Antwort, vor deiner
Antwort gegeben, bereits einen Schritt weiter.

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@Georg: Ja, das tat er und genau das war falsch. Hingegen ist immais Antwort richtig.

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Das was immai hier geschrieben hat würde ich nicht unbedingt als
Antwort bezeichnen.

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Ich verstehe diese anmekung nicht ;)

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Hallo immai,

die Frage war  " An welchen Stellen haben die Funktionen zu f
mit f(x)=xⁿ  mit n ∈ Z die Steigung 1.  "

  1. Schriit z.B. f ´ ( x ) = 1 oder  ( x^n ) ´ = 1
  2. Schritt n * x^{n-1} = 1

Hier hast du aufgehört.

Eine Antwort wäre dann x = Term. Diese hatte der Mathecoach
bereits vor dir gegeben.

Immai, du kannst gern weiter Antworten geben wie es dir beliebt.
Ich beantworte auch gern deine Fragen.

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Ich hatte da aufgehört weil ich eigentlich wollte das der frage steller den rest macht und bei rückfrage hätte ich den rest geliefiert. Und ich glaub ich habe sogar vor mathecouch geantwortet.

Konstrutive kritik ist immer gut ;)

Danke

Ich werde sicherlich noch viele fragen stellen

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immai, der Zusammenhang war, das einige die Antwort des Mathecoachs
als falsch bezeichnet haben, was Sie im übrigen auch überhaupt nicht ist.

Die Definitionsmenge anzugeben war nicht unbedingt gefordert und
zudem auch reichlich einfach zu bestimmen.

Deine Antwort, aus " pädagogischen Gründen " im Ansatz formuliert, ist
genauso ok.

Answer 4

Hier nun die 4.Variante
f ( x ) = x^n
f ´ ( x ) = n * x^{n-1}
n * x^{n-1} = 1
x^{n-1} = 1/n
(n-1)* ln(x) = ln (1/n) = -ln(n)
ln ( x ) = -ln(n) / ( n-1)
x = e^{-ln[n]/ [n-1]}
Die Funktion zeigt, wie in der Aufgabenstellung gefordert,
x in Abhängigkeit von n.
ln(n) schränkt die Grundmenge ℤ auf ℕ ein
( nur positive n )

Comments

Die Antwort ist sogar auf alle n größer als 1 eingeschränkt, also relativ sinnfrei.

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Schreib doch einfach

Fehlerhinweis : ℕ \ { 1 }.

Dies ist einfacher.

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Wenn dann schon \( \mathbb N \backslash \{0,1\} \).

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Eure Fallunterscheidungen sind ein Witz.
Dass es für  n = -763  keine Stellen mit der geforderten Eigenschaft gibt, für  n = -736  aber sehr wohl, scheint noch niemandem aufgefallen zu sein. Ich denke, ihr habt noch einiges zu tun.

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Mein Zitat von oben:

"Es kann hilfreich sein sich auch die Funktion f(x) = xⁿ für verschiedene Werte von n mal aufzuzeichnen. Ich würde mal Werte von -3 bis 3 für n nehmen."

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@hj213
Eine erste Überprüfung ergab deine Ergebnisse.
Ich gratuliere schon einmal vorab ( ernst gemeint ).
ich beschäftige nachher weiter mit dem Strang.

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Die Gleichung

x = x

gilt sicher für alle x ∈ R

Was ist wenn wir jetzt auf der rechten Seite umformen

x = EXP(LN(x))

Nanu. Plötzlich gilt das nicht mehr für alle x ∈ R sondern nur noch für alle x > 0. Funktion und Gegenfunktion heben sich offenbar nicht immer so auf wie wir es gerne hätten.

Ein anderes beispiel

x = x

x = √(x^2)

Letzte Gleichung habe ich zum Teil schon in Prüfungen gefunden ohne das dort dabei stand das es nicht immer gilt.

Du könntest in deiner Gleichung also wieder die e-Funktuion und die ln Funktion aufheben. Dann solltest du auf meine Gleichung kommen.

Wie bemerkt wurde ist meine Gleichung nicht für alle n definiert. Das merkt man, wenn man mal mit dem Taschenrechner für verschiedene n versucht einen Wert auszurechnen. Wenn man genau sein will sollte man also Fallunterscheidungen für verschiedene Werte von n machen. Wie gesagt habe ich auch empfohlen man die Graphen zu zeichnen damit es vielleicht klar wird. Man sollte meiner Meinung nach ohnehin wissen wie dir normalen Potenzfunktionen x^n für verschiedene Werte von n aussehen.

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Das Logarithmieren einer Gleichung ist nur dann erlaubt, wenn beide Seiten positiv sind. Ferner ist Logarithmieren zum Lösen einer Potenzgleichung völlig unnötig.

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Bezüglich der Ausgangsfrage dürfte gelten
( nach plotten verschiedener Funktionen )

für n > 0
n ist gerade : 1 Stelle
n ist ungerade : 2 Stellen

n = 0 : keine Stelle

n < 0
n ist gerade : 1 Stelle
n ist ungerade : keine Stelle