Komplexe zahlen quadratische gleichung

Question

∠Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen z in der normalform z=x+iy an mit x,y∈ℝ: Diejenige lösung z∈ℂ der Gleichung 2-z=1/z+2i/z , die von  i verschieden ist.

Answer 1

$$2-z =\frac1z+\frac{2i}z\Leftrightarrow z^2-2z+1+2i=0,\text{ falls }z\ne0.$$Bekanntlich ist \(z_1=i\) eine Lösung. Polynomdivision liefert$$z^2-2z+1+2i=(z-i)\cdot\big(z-(2-i)\big).$$Daher ist \(z_2=2-i\) die gesuchte Lösung.

Comments

Leider habe ich deinen Lösungsvorgang nicht verstanden.

Könntest du es vielleicht mit q.e.

Oder p/q formel lösen?

Habe es nämlcih mit der p/q versucht und habe z₁=√(1-2i) und z₂=√(1+2i)

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pq-Formel wäre kompliziert. Am einfachsten ist wohl Vieta. Wenn \(z_1=i\) und \(z_2\) die Lösungen sind, dann gilt \(i+z_2=2\), woraus \(z_2=2-i\) folgt.