Berechnen Sie das Verhalten der Funktion für unendlich wachsende/fallende Argumente + Tangentenanstieg

Question

Aufgabe:

5) Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+1} \)

5a) Berechnen Sie das Verhalten der Funktion für unendlich wachsende/fallende Argumente \( x \).

5b) Berechnen Sie den Tangentenanstieg in \( x_{\mathrm{i}} \) mit \( \mathrm{P}_{\mathrm{i}}\left(x_{\mathrm{i}} ; 0\right) \)

Ansatz:

5a) ich habe lim x -> unendlichen x^2( 1- 4/x^2   /  1+ 1/x^2)  daher hab ich 1. und minus unendlich ist genauso 1 denke ich, da minus irgendeine Zahl hoch 2 ist immer Pluszahlen ist.

5b) Tangentenanstieg. Das ist mein Problem.

Answer 1

Anstelle
x²( 1- 4/x²   /  1+ 1/x²)  muß es heißen
( x² / x^2 ) * ( 1- 4/x²  ) / ( 1+ 1 / x² )

( x^2 - 4 ) / ( x^2 + 1 ) = 0
Zähler ist 0
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = 2
x = -2
1.Ableitung durch die Quotientenregel
oder zuerst Polynomdivision
( x^2 - 4 ) / ( x^2 + 1 ) = 1 - 5 / ( x^2 + 1 )
Jetzt ableiten ( verkürzte Qutientenregel )
5 * 2 * x / ( x^2 + 1 )
f ´( x ) = 10 * x / ( x^2 + 1 )

Tangentenanstieg = f ´( x )
f ´( 2 ) =  10 * 2 / ( 2^2 + 1 )
f ´( -2 ) =  10 * (-2) / ( (-2)^2 + 1 )

Schaffst du den Rest allein ?

Comments

Hallo georgborn,

Ich habe verstanden ,aber für unendlich wachsende / fallende Argumente x macht man mit lim oder?

dann hab ich die richtige Lösung ??

Tangentenanstieg schon klar.

Danke !

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Da du bereits eine Antwort ( die Richtige ) gegeben hast bin ich
nicht weiter darauf eingegangen.

Gegenüber der Unendlichkeit spielen -4  oder +1 keine Rolle mehr

lim x -> ±∞  [ ( x^2 - 4 ) / ( x^2 + 1 ) ]  = [ x^2 / x^2 ] = 1

so wie du es gemacht hast geht es auch

( x² / x^2 ) * ( 1- 4/x²  ) / ( 1+ 1 / x² )  = 1 * ...
lim x -> ±∞ [  ( 1- 4/x²  ) / ( 1+ 1 / x² ) ] = 1 / 1 = 1