Grenzwert berechnen von a_{n} = (-1)^n / n

Question

Diese Aufgabahe habe ich mit Limes berechnet und dann nochmal mit dem Epsilon-Beweis bewiesen.

\( a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{|1|}{n} \)

\( =g=0 \)

\( \left|\frac{(-1)^{n}}{n}-0\right|<\varepsilon \)

\( \left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|<\frac{1}{1000} \)

\( (-1)^{n} \cdot 1000<n \)

\( |1000|<n \)

\( 1000<n \)

Ist das richtig so?

Comments

Hi, da sind mehrere Fehler drin. Oben hasst Du (−1)ⁿ durch |1| ersetzt, das ist falsch für ungerade n. Beim Epsilon-kriterium unten hast Du ε durch 1/1000 ersetzt, zeigen musst Du die Ungleichung aber für beliebiges ε>0.

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danke ! dass heißt statt betrag von 1, muss dort betrag von -1 stehen?

Hmm, mein Lehrer meinte man kann für epsilon einfach eine Zahl > 0 einsetzen, z.B. 1/100 ; 1/1000 etc. :o

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Na, wenn Du |−1| schreibst, betrachtest Du im Grunde eine andere Folge und müsstest zunächst begründen, warum sich dadurch der Grenzwert nicht ändert. Bei der Folge <(−1)ⁿ>_n beispielsweise wäre Deine Argumentation offensichtlich falsch.

Was Dein Lehrer da sagt, ist so nicht richtig. Für einen Divergenznachweis genügt es natürlich, wenn man ein passendes Epsilon vorgibt. Hier möchtest Du aber die Konvergenz zeigen, Du musst also allgemein bleiben.

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Ja, ich hab schon von vielen gehört, dass es falsch ist was meine lehrer sagt :/ ^^ wie rechne ich denn dann diese Aufgabe oder ist die nicht lösbar?

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Du könntest sicher eine Fallunterscheidung für Gerade n und ungerade n machen und dann den Term vereinfachen.

(-1)^n / n

Für gerade n ergibt sich dann

1 / n

Für ungerade n ergibt sich dann

-1 / n

Wenn n gegen unendlich geht sollte für beide der Grenzwert 0 sein. Das kannst du dann auch mit dem ε-Kriterium machen. Lass dabei ε einfach als Buchstabe stehen und löse einfach nach n auf.

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dann kommt also raus:

-1 < epsilon

und

1 < epsilon

oder?

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Für gerade n

1 / n - 0 < ε
1 / n < ε
n > 1/ε

Für ungerade n

0 - (- 1/n) < ε
1/n < ε
n > 1/ε

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aber wenn ich dann für epsilon in beiden fällen 1/1000 einsetze kommt ja für ungerade n und für gerade n 1000 raus, also war doch meine rechnung oben richtig?!

Answer 1

Rein formal könnte man wie folgt vorgehen: Sei \(\epsilon>0\) vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\frac1{\epsilon}\) ist. Dann gilt für alle \(n>N\)$$\vert a_n-0\vert=\left\vert\frac{(-1)^n}n-0\right\vert=\frac1n<\frac1N<\epsilon.$$