Rechtwinkliges-Gleichschenkliges Dreieck - Seitenverhältnis + Beweis

Question

Ich habe hier folgende Geometrieaufgabe:

Ich soll ein Rechtwinkliges und Gleichschenkliges Dreieck zeichnen, mit dem Rechten Winkel bei A. So weit so gut, die Katheten sind 4cm lang.

Man nehme nun einen Punkt P auf der Hypotenuse und zeichnet zwei Parallelen zu den Katheten.

Das entstandene Rechteck hat den Umfang von 8 cm.

Als nächstes sollen wir ein Vermutung aufstellen, bezüglich des Seitenverhaeltnisses einer Kathete und des Umfangs.

Meine Vermutung wäre, dass der Umfang des Rechtecks das Doppelte einer Kathete beträgt.

Nun soll ich das beweisen, aber wie?

Danke für JEDEN Denkanstoss!

Answer 1

Gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel 90° und zwei Winkel alpha = 45°

$$\tan { 45°=\frac { b }{ 4-a }  } \Longleftrightarrow \quad 1=\frac { b }{ 4-a } \Longleftrightarrow \quad 4-a=b$$

Aus b = 4 - a siehst du, dass du für die Strecke 4-a auch b schreiben kannst. Damit hat eine Kathete die Länge a+b.
Muss auch so sein, weil du ja auch in deinem kleinen Dreieck wieder einen rechten Winkel und zwei Winkel mit 45° und damit ein gleichseitiges Dreieck hast

Eine Kathetenlänge entspricht also a + b

U = 2b + 2a = 2(a + b) = 2 * Kathete

Deine Vermutung war also richtig

Comments

Hi, hast Du hier nicht ein wenig mit Kanonen auf Spatzen geschossen? Die drei beteiligten Dreiecke sind doch konstruktionsbedingt ähnlich zueinander, also insbesondere auch gleichschenklig und rechtwinklig.

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Einen simplen tangens plus Ausklammern eines anderen Terms empfinde ich jetzt nicht als mit Kanonen auf Spatzen schießen.

Wie würdest du denn die Behauptung beweisen?

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Na, genau so, wie Du es oben auch angedeutet hast: "Muss auch so sein..." -- allerdings muss es natürlich gleichschenklig heißen. Das ist doch ein völlig korrekter, geometrischer Beweis über die Ähnlichkeit der beteiligten Objekte, die sich aus der in der Aufgabe geforderten Parallelität ergibt.

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Mit dem gleichschenklig hast du recht.
Aber was mathematische Beweise angeht, kann man entweder Prosa schreiben oder man schreibt Formeln hin. Und da empfinde ich einen Tangens und Ausklammern der Umfangsformel nicht als übertrieben, sondern eher im Gegenteil als kurz und präzise.