Warum gilt folgende Gleichung: sin(3x)*cos(3x) = 1/6 sin^2(3x) + c

Question

sin(3x)*cos(3x) = 1/6 sin^2(3x) + c

Mir ist schon klar das die rechte Gleichung die Stammfunktion der linken sein soll, jedoch komme ich beim besten Willen nicht auf die gleiche Gleichung beim ableiten.

Bei mir sieht das folgendermaßen aus:

1/6 sin^2(3x) wird zu 1/6 sin(3x) * 1/6 sin(3x)

Das leite ich mit Produkt-und Kettenregel ab

3/6cos(3x) * 1/6sin(3x) + 1/6sin(3x) * 3/6cos(3x)

Wie fasse ich das nun so zusammen, das sich die linke Gleichung ergibt?

Answer 1

Beim Umformen deiner Potenz darfst du nicht die 1/6 mit beiden Werten multiplizieren.
1/6 sin² (3x) = 1/6 ( sin(3x) sin(3x)) = 1/6 sin(3x) sin(3x)

f '(x) = 1/6( cos(3x)*3*sin(3x) + sin(3x)cos(3x)*3 )

= 1/6( 2*3* cos(3x) sin(3x) )
= cos(3x)sin(3x)

Finde aber die Kettenregel hier einfacher

f (x) = 1/6 sin²(3x)
f '(x) = 2/6 sin(3x)*cos(3x)*3 = sin(3x) cos(3x)

Comments

Wird für
f (x) = 1/6 sin²(3x)
die für diesen Fall übersichtlichere Schreibweise

f ( x ) = 1/6 * [ sin ( 3x ) ]^2
gewählt wird die Lösung nach der Kettenregel auch
besser sichtbar

f ´ ( x ) = 1/6 * 2 * [ sin ( 3x ) ] * [ sin (3x) ] ´
f ´ ( x ) = 1/6 * 2 * [ sin ( 3x ) ] * cos  (3x)  * 3
f ´ ( x ) = sin ( 3x )  * cos  (3x) 

Dies ist jetzt zwar ein bißchen langatmig aber
zum verstehen gut geeignet.

Und in der Fragestellung heißt es besser
∫ sin(3x)*cos(3x) = 1/6 sin²(3x) + c