reihen auf konvergenz mit integralkriterium

Question

$$ \sum _{k=0}^{\infty}{\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ k+1 } }} $$
$$ \lim_{x\to∞} \int_{0}^{∞}\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ x+1 } }dx= [\frac { 3(x+1){  }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{2 }]_0^x=\infty-1,5=\infty$$

stimmt das und wie kann man das mit wolframalpha kontrollieren? Wie gebe ich die 3 wurzel aus...ein?

Comments

So stimmt das nicht, es sind noch unterschiedliche Fehler drin. Zunächst wird der Grenzübergang nicht mit dem uneigentlichen Integral vorgenommen, sondern das uneigentliche Integral wird als Limes eines eigentlichen Integrales bestimmt. Möchtest Du das selbst korrigieren oder soll ich Dir den Anfang geben?

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Ich mach das zum zweiten mal:D (Ich bin noch kein Stundent nur zu Info)

ja mach mal bitte den anfang :)

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Ok, dann hier der Anfang:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ x+1 } }\textrm{d}x = \lim_{z\to \infty} \int_{0}^{z} \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ x+1 } }\textrm{d}x = \lim_{z\to \infty} \left[...\right]_{\,0}^{\,z} =\,... $$

Zunächst habe ich das uneigentliche Integral hingeschrieben. Dann habe ich die obere Grenze endlich gemacht durch die reelle Hilfsvariable z und das uneigentliche Integral als Limes eines eigentlichen Integrals formuliert. Das eigentliche, bestimmte Integral kann nun berechnet werden. Der Grenzübergang wird erst zum Schluss durchgeführt.

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ahso ja ich verstehe das ja nur das problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das richtig mathematisch aufschreiben soll :) was ich da und wie ich das machen muss ist mir eigentlich klar :)

Jetzt einfach die Stammfunktion bilden und die grenzen einsetzen? Da kommt aber Divergenz raus oder?

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Wie sieht das aus?

$$ \int_{0}^{∞}\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ x+1 } }dx=\lim_{z\to∞}\int_{0}^{z}\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ x+1 } }dx=[\frac { 3(x+1){  }^{ \frac { 2 }{ 3 } } }{ 2 }]_0^z=\lim_{z\to∞}[\frac { 3(x+1 ){  }^{ \frac { 2 }{ 3 } }}{ 2 }]_0^z=\infty-1,5=\infty $$

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Bevor Du den Limes bildest, musst Du erst einsetzen.

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Ja das habe ich aber einfach so gemacht also es ist klar, dass dies $$ \frac { 3(x+1){  }^{ \frac { 2 }{ 3 } }}{ 2 } $$ gegen Unendlich geht und dann habe ich noch für x 0 eingesetzt und da kam 1,5 raus und Unendlich -1,5 ist wieder Unendlich

soll ich dann für x einfach z einsetzen ode?

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Ich würde erst einsetzen, dann "grenzwerten", aber falsch ist Dein Weg eigentlich auch nicht.

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Ja und kannst Du dein Kommentar als Antwort schreiben? Damit ich Dir den Stern geben kann?

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Bei Wolframalpha gibt man es wie folgt ein

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_k%3D0%5Einfinity+%28k%2B1%29%5E%28-1%2F3%29