Ableitung von arccos x beweisen

Question

ich muss die Ableitung von arccos x beweisen .

beginnen sollte der beweis mit: cos^{arccos x}= x

danke für eure hilfe, ist :)

Answer 1

$$cos(arccos(x))=x\quad \Leftrightarrow \quad cos(arccos(x))-x=0$$

$$Ausdruck\quad abgeleitet:\\ -sin(arccos(x)\cdot arccos'(x)-1=0\\ \\ \Leftrightarrow arccos'(x)=-\frac { 1 }{ sin(arccos(x) } \\ \Leftrightarrow arccos'(x)=-\frac { 1 }{ \sqrt { { sin }^{ 2 }(arccos(x) }  }$$

$$wegen\quad { cos }^{ 2 }x+{ sin }^{ 2 }x=1\quad kann\quad man\quad Nenner\quad umschreiben\\ \Leftrightarrow arccos'(x)=-\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }(arccos(x)) }  }$$

$$cos-Ausdruck\quad im\quad Nenner\quad ist\quad nach\quad Ausgangsgleichung\quad gleich\quad x\\ \Leftrightarrow arccos'(x)=-\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } $$