Sei f eine unterhalbstetige Funktion mit f>0 außerhalb eines Kompaktum. Zeige f gehört zur Baireschen Klasse

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei f : ℝⁿ → ℝ eine unterhalbstetige Funktion mit f(x)>0 außergalb eines Kompaktums. Man zeige: f ∈ B⁺.

Ich finde keinen Ansatz, da ich mit der Baireschen Klasse noch so gar nicht klar komme. Ich weiß:
Eine Funktion heißt unterhalbstetig, wenn für  alle x₀ ∈ ℝⁿ und alle C ∈ ℝ mit der Eigenschaft f(x₀) > C eine Umgebung U von x₀ existiert, sodass f(x) > C für alle x ∈ U.

Ich bin für jeden Hinweis dankbar!