Unterhalbstetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum Minimum an

Question

Hallo liebe Leute, ich hab noch Fragen zu unterhalbstetigen Funktionen:

1.) Und zwar soll ich eine unterhalbstetige Funktion angeben auf einem Kompaktum [-1,1], die kein Maximum hat. Als Kandidaten hätte ich zum Beispiel:

f(x) = 1 für x∈[-1,0]  }

         1/x für x∈(0,1] }

2.) Soll ich beweisen, dass jede unterhalbstetige Funktion auf einem Kompaktum ein Minimum annimmt. Und da hab ich wenig Ansatz... Wahrscheinlich sollte ich zuerst einmal zeigen, dass die Funktion nach unten beschränkt ist. Die Definition von unterhalbstetig war bei uns: ∀ε>0 ∃δ>0 sodass aus d(x,x0)<δ: f(x0)-f(x)<ε folgt.

Gut die Funktion ist auf einem Kompaktum definiert, d.h. d(x,x0) ist sicher endlich immer. f(x0)-f(x) wird nur dann größer als jedes mögliche Epsilon, wenn f(x0) nahe an +inf liegt oder f(x) nahe an -inf. Nur das bringt mir nicht so sonderlich viel. Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Wie habt ihr den Satz von Weierstrass bewiesen? Der Beweis nach dem Halbierungsprinzip ist z.B. komplett auf die Aufgabe uebertragbar.

Den Beweis mit Folgenkompaktheit kann man auch uebertragen, wenn man ein Folgenkriterium für Unterhalbstetigkeit nimmt: \(\liminf_{n\to\infty}f(x_n)\ge f(\xi)\), wenn \(x_n\to\xi\).

Comments

Meinst du den Satz vom Minimum und Maximum? Den haben wir über Kompaktheit bewiesen, indem wir gezeigt haben, dass das Bild einer kompakten Menge auch kompakt ist. Und dann haben wir ausgenützt, dass uns letztes Semester beigebracht wurde, dass kompakt -> abgeschlossen und beschränkt heißt.

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https://books.google.de/books?id=VawdBgAAQBAJ&pg=P121

Guck das mal an. Das ist eine Variante dazu. Die laesst sich praktisch 1:1 auf die Aufgabe uebertragen, wenn man das Folgenkriterium für Unterhalbstetigkeit (s.o.) benutzt.