Wie berechne ich folgendes Integral mit e-Funktion? ∫ e^x/(1+e^x) dx?

Question

Wie berechne ich dieses Integral:

\( \int \limits_{0}^{2} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} d x \)

Bitte mit ausführlichen Schritten.

Answer 1

Hi ivan,

im Zähler steht die Ableitung des Nenners. Deswegen haben wir es mit dem Logarithmus zu tun:

$$\int_0^2 \frac{e^x}{e^x+1} dx = \left[\ln(e^x+1)\right]_0^2 \approx 1,434$$

Grüße

Answer 2

Substituiere u = 1 + e^x

Dann ist du/dx = e^x

Also du = e^x dx

∫ e^x /( 1 + e^x) dx

= ∫ 1/u du

= ln |u| + C      Rücksubst.

= ln | 1 + e^x| + C

Nun noch die Grenzen einsetzen

∫ _o²e^x /( 1 + e^x) dx = = ln | 1 + e^x| |_o² = ln(1+e^2) - ln(1+1) = ln(1+e^2) - ln(2)

irgendwann dann noch den Taschenrechner nehmen, wenn eine Zahl gesucht ist.