An welcher Stelle ist die Funktion=Quadratzahl?

Question

Hallo liebe Gemeinde,
ich suche eine Lösung zu folgenden  Problem:
Geg:    f(x)= ( 2x+1)^2+(70x+2)*8
Wie muss man x wählen damit der Funktionswert=eine Quadratzahl  ist ?
z.B. wäre eine Lösung:  x=38
Aber wie kommt man zu dieser Lösung ohne  gross zu probieren.
Vielen Dank

Comments

Ich würde meinen, man kann einfach die Gleichung ( 2x+1)²+(70x+2)*8=y² nehmen.... 

Bin mir aber nicht sicher

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Hey Simonai ,

erstmals herzlichen Dank für Deine Hilfe.

habe es auch mit der Gleichung versucht.

Wie löse ich es aber wenn  x nur eine Ganze Zahl sein soll.

mfg

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Kanns ja mal versuchen:

( 2x+1)²+(70x+2)*8=y²

4x²+2x+1 + 560x + 16 = y²

4x²+562x+17 = y²

 

Dies ist eine Quadratische Gleichung... Weiter kann ich noch nicht lösen :-/

Answer 1

Der Ansatz

(2·x + 1)^2 + (70·x + 2)·8 = y^2

ist doch sehr gut. Ich hätte jetzt eine Wertetabelle gemacht für

y = √(4·x^2 + 564·x + 17)

und diese auf ganzzahlige Lösungen untersucht.

Eine andere Möglichkeit ist Wolframalpha für sich schuften zu lassen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*x%2B1%29%5E2%2B%2870*x%2B2%29*8+%3D+y%5E2

Wolframalpha findet die Lösungen

{{x == -2554, y == ±4965},
{x == -1313, y == ±2481},
{x == -268, y == ±369},
{x == -179, y == ±165},
{x == 38, y == ±165},
{x == 127, y == ±369},
{x == 1172, y == ±2481},
{x == 2413, y == ±4965}}

Comments

Man könnte die Gleichung auch nach x auflösen

x = (± √(y^2 + 19864) - 141)/2

Jetzt könnte man für jede Beliebige Quadratzahl die Werte für x bestimmen, die zu der Lösung führen. Das geht jetzt aber nur wenn x aus dem Bereich R sein darf. Aber das war ja in der Aufgabe nicht vorgeschrieben.

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Super vielen Dank

Dieses Wolframalpha ist ein tolles Programm und hilft erstmal weiter.

Nach x auflösen ist gut. Suche aber nur x-Werte die ganze Zahlen sind.

Gibt es hierfür eine eindeutigere  Lösung ohne verschiedene Werte auszuprobieren?

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Mein Wissen hilft da momentan nicht weiter. Wolframalpha meint das gibt nur 16 Lösungen. Wie er darauf kommt weiß ich leider nicht. Es muss vielleicht also auch einen Weg geben diese zu ermitteln. Meine Schulmathematik ist da leider am Ende.