Schnittpunkt der Geraden und Ebene. Wieviele Punkte auf g haben Abstand 3 von E?

Question

Zeigen Sie, dass sich die Ebene E: \( x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=12 \) und die Gerade \( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r}9 \\ 1 \\ 10\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \) schneiden.

Wie viele Punkte auf \( g \) sind 3 LE von \( E \) entfernt?

Answer 1

Es wird hier nicht gefragt, welche sondern wie viele Punkte auf g 3 LE von E entfernt sind. Nutze also die Erkenntnisse aus dem Anfang, den Du ja konntest, um auf die Anzahl zu schließen.

Falls die Gerade g etwa parallel zu E liegt, aber nicht den Abstand 3 LE hat, gibt es beispielsweise gar keine Punkte mit deer geforderten Eigenschaft. Nun gibt es allerdings auch noch zwei andere Fälle... einer der drei Fälle wird, je nach dem Ergebnis aus dem ersten Teil, sicher zutreffen.

Answer 2

Mit der HNF

x - 4y + z = 12

√(1+16+1) = √18 = 3√2

E in HNF:  (x-4y + z -12)/(3√2) = 0

Nun g einsetzen und rechts ±3 (gewünschter Abstand)

((9+t) - 4(1 + 0t) + (10 + 2t))/(3√2) = ±3

Nun das mit + 3 und mit - 3 separat nach t auflösen und das gefundene t in die Geradengleichung einsetzen. ---> die beiden gesuchten Punkte.

Anmerkung: Du brauchst die Punkte ja gemäss Aufgabenstellung gar nicht explizit.

Es genügt, wenn du schreibst, dass es genau 2 solche Punkte gibt, da sich Ebene und Gerade in genau einem Punkt schneiden.

Comments

Lu, hier werden keine Punkte gesucht. Es sollen die Ergebnisse des ersten Teils interpretiert werden.

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Kann man es auch auf einem anderen Weg lösen? Oder muss es mit der HNF gelöst werden?

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ia187 und hh191: Vgl. Anmerkung oben. Habe inzwischen die Fragestellung gelesen.

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Ums mal deutlicher zu machen. Nimm ein Blatt Papier und stecke dort einen Bleistift durch. Wie viele Punkte auf dem Bleistift den wir mal als Gerade auffassen wollen) haben einen bestimmten Abstand zum Papier.

Es gibt einen Punkt auf der einen Seite vom Papier und einen auf der anderen Seite. Es gibt also ganz genau 2 Punkte.

Ein rechnen ist hier überflüssig. Es sollte gezeigt werden das die Gerade die Ebene schneidet. D.h. wir wissen das sie sich schneiden auch wenn man es nicht zeigen kann.

Und weil es einen Schnittpunkt gibt gibt es genau 2 solcher Punkte die einen bestimmten Abstand haben.