Zeige: Ebene und Gerade sind parallel. Berechne deren Abstand.

Question

Zeigen Sie, dass \( \mathrm{E}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
und \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ -4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \) zueinander parallel sind.

Berechnen Sie deren Abstand.

Muss ich den Abstand nach dem Punkt Ebene Prinzip ausrechnen? Wie gehe ich da vor? Weil ich ja keine Punkte habe, sondern eine Geradengleichung und eine Ebenengleichung?

Answer 1

Am einfachsten berechnest du das Spatprodukt aus allen 3 gegebenen Richtungsvektoren. ( = Setze die 3 Richtungsvektoren als Spalten in eine Matrix und berechne die Determinante)

Wenn es 0 ist, sind Gerade und Ebene parallel zueinander.

Comments

Matrix hattem wir noch nicht?

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Um den Abstand zu berechnen, kannst du dann (falls parallel) den Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte berechnen und Das Spatprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektoren der Ebene durch den Betrag des Vektorproduktes der Ritchtungsvektoren der Ebene dividieren.

Ein allfälliges negatives Vorzeichen lässt du im Resultat einfach weg.

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Ist mit Spatprodukt zufällig: d2-d1/nvektor gemeint?

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Du musst zeigen, dass der Richtungsvektor von g linear abhängig ist von den Richtungsvektoren von E. D.h.

(0,2,1) = a(4,0,1) + b(-2,1,0)          muss eine Lösung haben.

(0,2,1) = 1*(4,0,1) + 2*(-2,1,0)        . Eine mögliche Lösung sieht man gleich a=1 und b=2. Das genügt für Parallelität.

Zum Abstand: Welche Vektormutliplikationen kennst du? Rechne mit denen. Das muss ja gehen, wenn ihr diese Aufgabe bekommt.

(Den Normalenvektor auf der Ebene kannst du hier brauchen.   d2-d1/nvektor  sagt mir nicht viel 

Abstand Punkt - Ebene = Spatprodukt / |nvektor|, wobei nvektor = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene)

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Also muss ich diese Form bei der Parallelität immer nehmen? (0,2,1) = a(4,0,1) + b(-2,1,0) , also Richtungv. Der Ebene gleich dem Richtungsv. der geraden? Brauche ich für den Abstand nicht erst den normalenvektor?

Den Abstand berechne ich indem ich den Vektor zB AL quadriere und die wurzel ziehe. Aber hier geht es nicht weil ich keinen normalenvektor habe. Oder muss ich dafür nochmal eine eigene Rechnung machen? 

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Ich rechne hier ja den Abstand Punkt Ebene. Kann ich irgendeine Zahl für g einsetzen um einen Punkt auf g zu bekommen? Macht das Sinn?

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Kann ich irgendeine Zahl für t einsetzen um einen Punkt auf g zu bekommen? Macht das Sinn?

Ja, weil bereits gezeigt ist, dass g und E parallel sind. Da haben automatisch alle Punkte auf g den gleichen Abstand von E.

"nvektor = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren" vgl. oben.

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Kontrolliere vielleicht erst noch, ob g nicht in E liegt. (g und E gleichsetzen oder kürzer: Stützpunkt von g in E einsetzen). 

Wenn das widerspruchsfrei klappt, musst du dann nichts mehr weiter rechnen.

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Ich habe den Abstand berechnet und habe für den Abstand 5/11 wurzel aus 21 raus . Stimmt das? Kann mir das einer sagen?

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Ich verstehe gerade den Unterschied von dem

"Du musst zeigen, dass der Richtungsvektor von g linear abhängig ist von den Richtungsvektoren von E. D.h.

(0,2,1) = a(4,0,1) + b(-2,1,0)          muss eine Lösung haben".  

Und von dem nicht: "Kontrolliere vielleicht erst noch, ob g nicht in E liegt. (g und E gleichsetzen"

Diese beide Schritte haben mich etwas verwirrt.