Ebene ε: 2x - y + z = 2. Suche Ebene ε1 parallel zu ε im Abstand 1 vom Ursprung.

Question

 hab eine Hausaufgabe bekommen und sitze schon seit einer Stunde dran.

Brauche Hilfe. 

Hier ist die Aufgabe :

Betrachten Sie in einem kartesischen Koordinatensystem des R^3 die Ebene

                        Ebene :      ε : 2x - y + z = 2 

1. Ist der durch den Koordinatenvektor u = [ -2 1 1 ]^T gegebene Vektor orthogonal zu ε ? Begründen Sie Ihre Antwort.

2. Geben Sie eine Gleichung einer Ebene ε₁ an , die parallel zu ε ist und vom Ursprung des gegebenen Koordinatensystems den Abstand 1 hat.

 

Answer 1

   Ebene :      ε : 2x - y + z = 2 

1. Ist der durch den Koordinatenvektor u = [ -2 1 1 ]^T gegebene Vektor orthogonal zu ε ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Nein. Einen Normalenvektor kann man der Koordinatengleichung entnehmen. Es ist n= [2,-1,1]^T.

Nun müsste u parallel zu n sein, also der eine ein Vielfaches des andern sein muss. Das geht nicht, in den ersten Komponenten wäre der Faktor -1 aber am bei der 3. Komponente 1. Daher nicht immer der gleiche Faktor.

2. Geben Sie eine Gleichung einer Ebene ε₁ an , die parallel zu ε ist und vom Ursprung des gegebenen Koordinatensystems den Abstand 1 hat.

HNF (Hessesche Normalform) von

 ε : 2x - y + z = 2     erstellen        |√(4+1+1) = √6

 ε : (2x - y + z)/√6  = 2/√6                  | ε hat den Abstand 2√6 vom Ursprung

An der Stelle von 2√6 nun ±1 einsetzen

 ε1,2 : (2x - y + z)/√6 = ±1          resp.

 ε1 : (2x - y + z)/√6 = √6

 ε2 : (2x - y + z) = -√6