Abstand d1 der Geraden g vom Ursprung

Question

Aufgabe:

Ebene E : 5x + 2y + 4z = 6.
1. Berechnen Sie, in welchem Punkt S die Gerade g, die durch die Punkte P1(1; 0;-1) und P2(0; 2;-2) geht, diese Ebene schneidet.

2. Berechnen Sie den Abstand d1 der Geraden g aus Aufgabenteil a) vom Ursprung (bzw. den Abstand des Ursprungs von der Geraden g):

Problem/Ansatz:

Die 1 habe ich gelöst und es kommt da S (2,-2,0) raus.

Bei 2 stehe etwas auf dem Schlauch.

Meine gerade von 1 ist :

g:\( \vec{x} \) (t)=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) +t*\( \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix} \)

Jetzt soll ich den Abstand der Gerade vom Ursprung berechnen.

Wie gehe ich da am besten vor ? Macht man das mit der Hesse´sche Normalform?

Comments

Macht man das mit der Hesse´sche Normalform?

Muss man nicht, aber man kann...

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Wie macht man das anders ? Ansatz bitte

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Kommt da als Lösung \( \sqrt{2} \) LE raus ?

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Ja, dein Ergebnis ist richtig.

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Wenn Dir nichts anderes anfällst, nimmst Du die Abstandsformel für die beiden Punkte Ursprung und x(t) und minimierst die:

Unter der Wurzel steht ausmultipliziert ja 6t² + 2 und um das zu minimieren, braucht man keine Maschine. Man sieht, dass das Minimum bei t=0 ist. Daraus folgt der Abstand \( \sqrt{2} \)

Answer 1

Für die Berechnung des Abstandes Punkt/Gerade gibt es massenhaft gute Erklärungen in Internet (Suchwort: Abstand Punkt Gerade).

Comments

Ist es das selbe wie mit Abstand Gerade vom Ursprung?

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Kommt da als Lösung \( \sqrt{2} \) LE raus ?

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Ja, der Ursprung ist ja ein Punkt.

Answer 2

$$\left|\begin{pmatrix} 1-t\\2t\\-1-t \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(1-t)^2+4t^2+(-1-t)^2}=\sqrt{1-2t+t^2+4t^2+1+2t+t^2}$$

$$ = \sqrt{6t^2+2} $$

Das wird minimal für t=0, also \(d = \sqrt{2}\)

Answer 3

Andere Variante: Deine Punkte P1(1; 0;-1) und P2(0; 2;-2) sowie der Ursprung bilden ein Dreieck mit dem Flächeninhalt

\(A=0,5\cdot|\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}×\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}|\).

Betrachtet man P₁P₂ als Grundseite dieses Dreiecks, dann ist der gesuchte Abstand d die Höhe, und es gilt \(d=\frac{|\begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}×\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}|}{\overline{P_1P_2}}\).