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Aufgabe Spezielle Funktion:

Bestimmen Sie für die Funktion \( f \) aus \( \mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{x+1}{x-1} \)

a) den (maximalen) Definitionsbereich und den Wertebereich von \( f \).

b) Zeichnen Sie den Graphen von \( f \).

c) Bestimmen Sie weiter den Wertebereich für die Einschränkungen \( \left.f\right|_{(1, x)} \) und \( \left.f\right|_{(2: 3]} \).

d) Für welche (größten) Intervalle \( I \subseteq D(f) \) ist \( f \) streng monoton fallend? (Begründung durch Nachrechnen)

e) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \( f^{-1} \) von \( f \) und geben Sie ihren Definitionsbereich an.

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1 Antwort

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13. d)

f(x) = (x + 1)/(x - 1)

f'(x) = - 2/(x - 1)^2

Nun ist gefragt wo die Funktion streng monoton fallend ist. Also in welchen Intervallen ist f'(x) < 0

f'(x) ist aber an allen stellen x ≠ 0 negativ, wie wir ablesen können. Daher sind die Intervalle

]-∞ ; 1[ und ]1 ; ∞[

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Gehtvdas auch ohne ableiten?

Da wir es im studium zum dem zeitpunkt "nicht ableiten" koennen.

Klar kann ich schon ableiten^^

Aber ich meinte wir sollen ja nur mit den möglichkeiten machen die wir im unterricht haben sollten^^

Danke

f(x) = (x + 1)/(x - 1) = 1 + 2/(x - 1)

Was passiert jetzt für x > 1. Der Nenner ist streng monotan steigend, weshalb der Bruch monoton fallend ist.

Was passiert fetzt für x < 1. Hier ist der Nenner monoton fallend, weshalb der Bruch monoton steigt. Durch das Minus geht sich das aber um und der Term ist monoton fallend.

Der Mathecoach hat die Antwort schon gegeben.
Hier vielleicht etwas anders formuliert

( - 2 ) / ( x -1 )^2 < 0
Division durch 0 aussschließen x ≠ 1.

( x-1 )^2 ist stets positiv
( -2 ) / positiv ist stets negativ.

Die Aussage : ( - 2 ) / ( x -1 )^2 < 0 ist für alle x wahr.

Ergebnis ℝ \ { 1 }

Nachtrag : mein Kommentar bezog sich nicht auf die
letzten beiden Kommentare sondern  auf die 1.Antwort

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