Bestimmen Sie die Nullstellen und den Wertebereich von h. h(x)= cos(π/x).

Question

Gegeben ist die Funktion h(x)= cos(Π/x); x∈[-1;3]. C ist das Schaubild von h.
Bestimmen sie die Nullstellen und den Wertebereich von h.
Wie bekomme ich den Wertebereich raus?

Comments

Was ist das für ein Zeichen ?
cos ( Π / x ).  Pi ?

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Vermutlich sollte das mal ein Pi werden

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Ja das ist ein pi

Answer 1

hier der Graph.



Der Graph sieht etwas merkwürdig aus.
Hast du die Funktion richtig angegeben ?
Nullstellen gibt es vielleicht unendlich ?
Der Wertebereich liegt zwischen -1 und 1

Answer 2

h(x)= cos(Π/x)

Nullstellen von cos(u) liegen bei u = π/2 + nπ, wobei n Element Z.

Löse nun π/x = π/2 + nπ allgemein nach x auf.

π/x = π/2 + nπ       |:π

1/x = 1/2 + n 

1/x = (1+2n)/2      | Kehrwert

x = 2/(1+2n)   wobei n Element Z.

Nun hast du alle Nullstellen von h.

Den Wertebereich [-1,1] erhältst du, wenn du für cos(π/x) = - 1 und cos(π/x) = 1 je eine Lösung x angeben kannst.

cos(π/x) = -1

π/x = π

x=1

Kontrolle

cos(π/1) = -1

cos(π/x) = 1

π/x = 2π

1/x = 2

x= 1/2

Kontrolle

cos(π/(1/2)) = cos(2π) = 1.

Aufgrund der Stetigkeit von h neben der Definitionslücke x=0 folgt, dass alle Werte zwischen - 1 und 1 angenommen werden. Werte ausserhalb von [-1,1]  können von Kosinus nicht angenommen werden.

Daher W = [-1, 1]