Zusammenhang von Kugel mit Radius √14 und Ebene durch P(1,2,3) senkrecht auf OP?

Question

(b) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung \( x+2 y-3 z=5 \).

(c) Beschreibe die Menge, die du in der vorigen Teilaufgabe erhalten hast, geometrisch. Für die Auskinfte, die ich von dir erwarte, brauchst du so drei Zeilen.

(d) Löse das Gleichungssystem, das aus der Gleichung in Teilaufgabe 1b und der Gleichung \( -2 x+3 y-4 z=10 \) besteht.

e) Interpretiere Ansatz und Ergebnis der vorigen Teilaufgabe geometrisch. Dabei kannst du dich allgemein äußern, auf die konkreten Werte sollst du nicht eingehen.

(f) Es sei \( P(1,2,3) \). Bestimme die Ebene durch den Punkt \( P \), die auf der Strecke \( \overline{O P} \) senkrecht steht.

(g) Was hat die Ebene aus der vorigen Teilaufgabe mit der Kugel um den Nullpunkt mit dem Radius \( \sqrt{14} \) zu tun?

(h) Es sei \( g \) die Gerade durch die Punkte \( A \) und \( B \) und \( h \) die Gerade durch die Pumkte \( C \) und \( D \) von Aufgabe 2. Gesucht sind Punkte \( P \) auf \( g \) und \( Q \) anf \( h \) so, dass die Strecke \( P Q \) sowohl mit \( g \) als auch mit \( h \) einen rechten Winkel bildet. Zeichne eine (ruhig allgemeine) Skizze und schreibe cin Gleichungssystem hin, das zur Lösung führen soll. Ausrechnen musst du es nicht: Schreibe nur hin, welche Größe das System hat und wie man von der Lösung zu den gesuchten Punkten käme.

Was soll bei Aufgabe g) gemacht werden?

Answer 1

Das dürfte eine Tangentialebene an die Kugel mit dem Radius √14 und Mittelpunkt O(0,0,0) sein.

Genauso wie in der Ebene eine Tangente senkrecht auf einem Kreisradius steht, steht im Raum eine Tangentialebene senkrecht auf dem Radius(vektor).

| OP | = √(1+4+9) = √14