Bestimmung von inneren Punkten/Randpunkten/isolierten Punkten und Häufungspunkten bei Mengen

Question

Bestimme die inneren Punkte bzw. Randpunkte und die isolierten Punkte bzw. Häufungspunkte der folgenden Mengen D ⊂ ℝ.

(a) D = ℝ

Meine Überlegung:

Innere Punkte: ]-∞, +∞[

Randpunkte: {-∞,+∞}

Isolierte Punkte: {}

Häufungspunkte: D

Stimmt das?

(b) D = [5,8]

Meine Überlegung:

Innere Punkte: ]5, 8[

Randpunkte: {5,8}

Isolierte Punkte: {}

Häufungspunkte: D

Stimmt das?

(c) D = ]-1,3]

Innere Punkte: ]-1, 3[

Randpunkte: {-1,3}

Isolierte Punkte: {}

Häufungspunkte: D

Stimmt das?

(d) D = ]2,5[∪{1}

Meine Überlegung:

Innere Punkte: ]2, 5[

Randpunkte: {2,5}

Isolierte Punkte: {1}

Häufungspunkte: D\{1}

Stimmt das?

Answer 1

scheint alles zu stimmen außer d):

\( 1 \) ist Randpunkt der Menge.

Bei c) und b) (und auch bei a)) sind die Randpunkte Häufungspunkte der Menge, selbst wenn sie nicht zu der Menge gehören.

Mister

Comments

Vielen Dank, somit sind bei (d) {1, 2, 5} Randpunkte oder nur {1}?

und kann ich meine Häufungspunkte bei (c), (b) und (a) nun stehen lassen, oder muss ich sie ersetzen mit den Randpunkten?

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Das würde ja heißen, dass \( c : -\infty < c < \infty \) kein Häufungspunkt von \( \mathbb{R} \) wäre.

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Es tut mir leid, aber leider konnte ich nicht folgen...

was muss ich innsgesamt ändern, um die richtigen Lösungen zu haben?

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Bei d) sind selbstverständlich \( 1 \), \( 2 \) und \( 5 \) Randpunkte der Menge.

Die Randpunkte sind bei a), b) und c) weitere Häufungspunkte der Menge. Der Abschluss \( \overline{D} \) bildet die Menge aller Häufungspunkte von \( D \).

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Nochmals vielen Dank!

Das bedeutet, ich muss den bei a) b) und c) noch den Strich über dem D zeichnen, und dann stimmt die Lösung?

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Vorausgesetzt, du weißt, was der Strich über dem \( D \) bedeutet.

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So wie ich es verstanden habe, bezeichnet das D mit Querstrich die Menge aller Grenzwerte, zu welchen somit sowohl die inneren Punkte, wie auch die Randpunkte gehören (selbst wenn sie nicht dazugehören, da sie die Grenzwerte bilden), da Grenzwerte automatisch Häufungspunkte sind. Stimmt das?

in diesem fall müsste ich bei (d) auch

D mit Querstrick \ {1} bei den Häufungspunkten hinschreiben?

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Wenn du so fragst, bin ich mir jetzt auch nicht mehr so sicher.

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Auf Wikipedia steht dieses Beispiel, das der Aufgabe (d) entsprechen sollte.

https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt#Beispiel

Ich weiss nicht ob dir das etwas hilft, aber wenn ich es mir so anschaue, habe ich das Gefühl, dass mein letzter Kommentar stimmen sollte.

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Hm, das ist merkwürdig.

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Oke jetzt bin ich offiziel verwirrt, was stimmt denn nicht?

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Ein ungewöhnliches Beispiel.