Wie zeigt man, dass das Innere, vom Inneren von M, gleich dem Inneren von M ist?

Question

Aufgabe:

 \( \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))=\operatorname{int}(M) \)

Problem/Ansatz:

\( \operatorname{int}(M)=\stackrel{\circ}{M} \) das Innere der Menge \( M \) bezeichne;

Wie zeigt man, dass das Innere, vom Inneren von M, gleich dem Inneren von M ist?

Answer 1

Offensichtlich ist \( \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))\subseteq \operatorname{int}(M) \).

Sei \(m\in \operatorname{int}(M)\).

Sei \(U \subseteq M\) offen mit \(m\in U\). Dann ist \(U\) eine offene Umgebung von \(m'\) für jedes \(m'\in U\). Also ist \(m'\in \operatorname{int}(M)\) für jedes \(m'\in U\) und somit \(U\subseteq \operatorname{int}(M)\).

Weil es in \(\operatorname{int}(M)\) eine offene Umgebung um \(m\) gibt, ist \(m\in \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))\). Also ist \( \operatorname{int}(M)\subseteq \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))\)

Comments

Herzlichsten Dank ☺

Answer 2

Das Innere einer beliebigen Menge ist offen.

Das Innere einer offenen Menge M ist gleich dieser Menge M.

Daraus ergibt sich auch die behauptete Eigenschaft.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Inneres,_Abschluss,_Rand#:~:text=Topologisch%20ausgedrückt%3A%20Das%20Innere%20ist,Menge%20sowie%20ihr%20Komplement%20schneiden.