Wie weiß ich ob die Punkte dieser Menge Randpunkte, innere Punkte oder äußere Punkte sind?

Question

Wir betrachten die Menge
$$ M_{4}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x, y, z \in \mathbb{Z}\right\} $$
Entscheiden Sie, ob die Punkte \( (0,0,0),\left(\frac{1}{2}, 0,1\right) \) innere Punkte, Randpunkte oder äußere Punkte von \( M_{4} \) sind.

Der Punkt \( (0,0,0) \) ist ein   ____________     der Menge \( M_{4} \)

Der Punkt \( \left(\frac{1}{2}, 0,1\right) \) ist ein ___________ \(  \) der Menge \( M_{4} \).

Answer 1

Hallo Cookie,$$M_{4}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x, y, z \in \mathbb{Z}\right\}$$der Punkt \((\frac 12,\,0,\,0)\) liegt nicht in \(M_4\), ist also kein Element der Menge und somit ein äußerer Punkt.

Da zu der Umgebung eines Punktes auf dem ganzzahligen Gitter natürlich die Punkte mit nicht ganzzahligen Koordinaten gehören, ist jeder Gitterpunkt zwangsläufig Randpunkt von \(M_4\). Also ist auch \((0,\,0,\,0)\) ein Randpunkt.

Daraus folgt auch, dass der 'offene Kern' \(M_4°\) (bzw. \(\operatorname{int}(M_4)\)) von \(M_4\) leer ist.$$M_4° = \{\}$$Die Menge \(M_4\) besteht nur aus ihrem Rand.

Comments

Mhh okay, woher, erkenne ich aber, dass ( \( \frac{1}{2} \) ,0,1) ein äußerer Punkt ist?

Die Menge hat ja, also meiner Meinung nach nicht so viel Informationen, wo man das rausrechnen oder rauslesen kann.

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Mhh okay, woher, erkenne ich aber, dass ( \( \frac{1}{2} \) ,0,1) ein äußerer Punkt ist?

dieser Punkt hat eine Koordinate, die der Bedingung für die Elemente von \(M_4\) nicht genügt:$$x= \frac 12 \not\in \mathbb Z \implies \left(\frac12,\,0,\,1\right) \not\in M_4$$

Die Menge hat ja, also meiner Meinung nach nicht so viel Informationen, wo man das rausrechnen oder rauslesen kann.

Rechnen brauchst Du da gar nichts! Die Kernfrage ist doch: wie ist 'Randpunkt' bzw. 'innerer Punkt' definiert? Und welche der beden Definitionen trifft auf \((0,\,0,\,0)\) zu?

Ein innerer Punkt ist ein Punkt einer (topologischen) Menge, um die man eine Kreis mit Radius \(\epsilon \gt 0\) ziehen kann, so dass alle Punkte innerhalb dieses Kreises zur gleichen Menge gehören. Dieser Kreis mit \(\epsilon\gt0\) nennt man die Umgebung des Punktes.

Und im Fall von \(M_4\) besteht die Menge nur aus isolierten Punkten ohne Umgebung. Ist Dir klar, wie die Menge \(M_4\) geometrisch aussieht?

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Ah okaay verstehe Dankeschön!

Ich habe zwar versucht mit Geogebra die Menge darstellen zu lassen, aber das war nichts...

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Ich habe zwar versucht mit Geogebra die Menge darstellen zu lassen, ...

Da brauchst Du kein Geogebra! Papier und Bleistift sind völlig ausreichend. Und wenn auf dem Papier ein Kästchenmuster ist, so ist das hier von Vorteil. Von 3 auf 2 Dimensionen reduziert, sieht das so aus:

jeder rote Punkt ist ein Element von \(M_4\). In 3 Dimensionen musst Dir das ganze in Schichten vom Abstand 1 übereinander denken. Im Prinzip so:

jede Kugel soll einen Punkt im Raum darstellen. Ein Punkt hat natürlich keine Ausdehnung. Und die Gitterlinien dienen nur der Orientierung, sind also nicht Teil der Menge \(M_4\). Und wenn man sich nun um einen der Punkte eine Kugel denkt mit Radius \(0\lt \epsilon \lt 1\), so ist der Punkt in der Kugel ziemlich allein. Also ist er auch kein innerer Punkt der Menge.

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Danke dir für die Erklärung !