Aufgaben zu tangentenproblemen

Question

Bestimmen Sie ohne GTR berührpunkt und Gleichung der Tangenten bei...

a) f(x)=√x        von P(0|1)

b) f(x)=4x-x^2 von P(0|1)

c) f(x)=2/x       von P(-3|2)

Comments

a)

Tangentengleichung: t(x)= y = m*x+b

P einsetzen:

1 = m*0+b

b =1

Im  Berührpunkt gilt:

t'(x) = f '(x)

t '(x) = m

f '(x) = 1/(2√x)

m = 1/(2√x)

x = 1/4m^2

f (1/4m^2) = √(1/4m^2) = 1/(2m)

Berührpunkt B (1/(4m^2) |1/(2m) )

In t(x) einsetzen:

1/(2m) = m*(1/4m^2) +1

1/(2m) = 1/(4m)+1

m = 1/4

t(x) = (1/4)*x+1

m einsetzen ---> Berührpunkt B (4/2)

I

Answer 1

Nachfolgende Lösungen enthalten nur Ansatz und Lösung. Außerdem sind die Lösungen ungeprüft, wie alle Lösungen von mir.

a) f(x)=√x        von P(0|1)

f(x) = f'(x)·(x - 0) + 1 --> x = 4
t(x) = f'(4)·(x - 4) + f(4) = 0.25·x + 1

b) f(x)=4x-x² von P(0|1)

f(x) = f'(x)·(x - 0) + 1 --> x = -1 ∨ x = 1
t(x) = f'(-1)·(x - (-1)) + f(-1) = 6·x + 1
t(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = 2·x + 1

c) f(x)=2/x       von P(-3|2)

f(x) = f'(x)·(x - (-3)) + 2 --> x = 3 ∨ x = -1
t(x) = f'(-1)·(x - (-1)) + f(-1) = - 2·x - 4
t(x) = f'(3)·(x - 3) + f(3) = 4/3 - 2/9·x