Aufgabe lösen zu Tangentenproblemen

Question

Wie löse ich folgende Aufgabe?

Eine Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x³  ; x ∈ ⌊0;2⌋ soll durch den Punkt P gehen. Bestimmen Sie den Berührpunkt und die Gleichung dieser Tangente.

Comments

Was heißt xE ⌊0;2⌋? Wie lautet der Punkt P?

---

xE bedeutet x Element von ⌊0;2⌉

Der Punkt P ist P (2/4)

---

Und was sollen die blöden Klammern? Verwende bitte [.].

Answer 1

f ( x )= x³

Berührpunkt mit der Tangente
( xp | yp )

f ´ ( x )= 3 * x ^2
f ´ ( xp )= 3 * xp ^2 = m

Tangente
y  = m * x + b
xp ^3 =  ( 3 * xp ^2 ) * xp  + b
b = xp^3 -  ( 3 * xp ^2 ) * xp
b = xp^3 -  3 * xp ^3
b = xp^3 * ( 1 - 3 )
b = -2 * xp^3

t ( x ) =  ( 3 * xp ^2 ) * x - ( 2 xp^3 )

Comments

Der in dieser Aufgabe gemeinte Punkt P (den der Frager im übrigen noch nachreichen muss!) ist sicher nicht der gesuchte Berührpunkt!

Answer 2

Sei Q(u|u³) der Berührpunkt der gesuchten Tangente durch P(2|4). Die Steigung in Q ist einerseits 3u² und andererseits (4-u³)/(2-u) Das Gleichsetzen der Steigungen führt zu 2u³-6u²+4=0. Die Lösung u₁=1 kann man raten.Nach Polynomdivision erhält man 2u²-4u-4=0 mit den Lösungen u_2/3=1±√3. Damit (Einsetzen in Q) ergeben sich 3 mögliche Berührpunkte.

Answer 3

  

f(x) = x³  ,   f '(x) = 3x²        x ∈ [0 , 2 ]  ;  P(2|4)

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]     

Die Steigung der Tangente im Berührpunkt  B( x_B |  y_B ) = (x_B | x_B³) ist gleich f '(x_B) = 3x_B² 

Tangente:   y =  f '(x_B) · (x - 2) + 4    #

Berührpunkt einsetzen (ergibt Bestimmungsgleichung für x_B ) :

x_B³  =  3x_B² · ( x_B - 2 ) + 4  =  3x_B³ - 6x_B² + 4

2x_B³  - 6x_B² + 4 = 0      ⇔   x_B³  - 3x_B² + 2 = 0  →  x_B = 1 

Polynomdivision (x³ - 3x²+2):(x-1) und pq-Formel ergeben noch x_2,3 = 1 ±√3  ∉ [ 0 , 2 ] 

 x_B = 1 in  # einsetzen:

Tangente:   y =  3 · (x - 2) + 4  →    y = 3x - 2

 

Gruß Wolfgang  

Comments

Es gibt denke ich hier 3 Tangenten.

---

Da war Roland mit "drei mögliche Berührpunkte" besser.

---

Die Berührstellen   x_2,3 = 1 ±√3 , die sich nach der Polynomdivision durch (x-1) ergeben, liegen nicht - wie vorgegeben - in [0 , 2] . Habe das in der Antwort ergänzt.

Answer 4

(f(x) - 4) / (x - 2) = f'(x)

f(x) - 4 = f'(x)·(x - 2)

x^3 - 4 = (3·x^2)·(x - 2)

x^3 - 4 = 3·x^3 - 6·x^2

2·x^3 - 6·x^2 + 4 = 0

x^3 - 3·x^2 + 2 = 0

Man sieht das x = 1 eine Lösung ist

(x^3 - 3·x^2 + 2) : (x - 1) = x^2 - 2·x - 2 = 0 --> x = 1 ± √3

Anmerkung: Wie Wolfgang richtig bemerkte sind diese Stellen nicht im Definitionsbereich. Ich skizziere trotzdem man alle Tangenten für eine auf in ganz R definierte Funktion.

t1(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = 3·x - 2

t2(x) = f'(1 - √3)·(x - (1 - √3)) + f(1 - √3) = 6·(2 - √3)·x + (12·√3 - 20)

t3(x) = f'(1 + √3)·(x - (1 + √3)) + f(1 + √3) = 6·(√3 + 2)·x - (12·√3 + 20)

Skizze

~plot~ x^3;{2|4};3x-2;6*(2 - sqrt(3))*x + (12*sqrt(3) - 20);6*(sqrt(3) + 2)*x - (12*sqrt(3) + 20);[[-1|11|-1|8]] ~plot~

Comments

Die Berührstellen   x_2,3 = 1 ±√3 , die sich nach der Polynomdivision ergeben, liegen nicht - wie vorgegeben - in [0 , 2]

---

Ja. Das hatte ich oben auch dazugeschrieben, nachdem ich deine Erklärung gelesen hatte.