(a) Um die Gerade für die Straße im Bereich \(x < -1\) zu berechnen, benötigt man einen Punkt und eine Steigung - hier an der Position \(x=-1\). Die Y-Koordinate des Punkts ist
$$y(x=-1) = 0,1x^2 - 0,6x +2,9 = 0,1(-1)^2 - 0,6 \cdot (-1) + 2,9 = 3,6$$
Die Ableitung (Steigung) der Funktion ist
$$y'(x=-1) = 0,2x - 0,6 = 0,2 \cdot (-1) - 0,6 = -0,8$$
D.h. die Gerade verläuft durch \((-1|3,6)\) und hat dort die Steigung \(-0,8\). Allgemein kann man für eine Geradengleichung mit Steigung \(m\), die durch \((x_0|y_0)\) verläuft, schreiben
$$y = m \left( x - x_0\right) + y_0$$
also hier
$$y= -0,8 \left( x- (-1) \right) + 3,6 = -0,8x + 2,8 $$
(b) bevor es weiter geht - mache Dir eine Skizze
~plot~ 0.1x^2 - 0.6x + 2.9;-0.8x+2.8;{-1|3.6};{-1|0};0.4(x+1);{5|2.4};[[-2|8|-2|6]] ~plot~
Die Aufgabe besteht darin, einen Punkt \(E=(x|y)\) zu finden, der auf der Parabel (der Kurve) liegt und wo die Gerade \(PE\) die gleiche Steigung hat, wie die Parabel in \(E\). Also
$$y'= 0,2x - 0,6 = \frac{E_y-P_y}{E_x-P_x} = \frac{y - 0}{x - (-1)}= \frac{0,1x^2 - 0,6x +2,9}{x+1}$$
$$(0,2x-0,6)(x+1) = 0,1x^2 - 0,6x+2,9$$ $$0,1x^2 +0,2x -3,5 = 0$$ $$x^2 + 2x - 35=0 \quad \Rightarrow x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{1+35}=-1\pm 6$$da die Kurve bei \(x\lt 0\) endet, fällt die Lösung \(x_2=-7\) raus. Bleibt nur \(x_1=5\). Die zugehörige Y-Koordinate ist \(y(5)=2,4\)
$$E=(5|2,4)$$
Gruß Werner