Hi Cytage,
Aufgabe 5
Zeigen Sie, dass sich f(x)=x²+1 und g(x)=1-x³ auf der y-Achse berühren.
Setze gleich. Wenn die Schnittstelle bei x = 0 "doppelt" ist, haben wir einen Berührpunkt
x^2+1 = 1-x^3 |-1+x^3
x^2+x^3 = 0
x^2(1+x) = 0
In der Tat ist x = 0 eine doppelte Nullstelle der obigen Gleichung -> Insgesamt also ein Berührpunkt.
Aufgabe 6
Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x)= a+x² die Winkelhalbierende g(x)=x berührt ? Wie lautet die Gleichung der Berührtangente?
Setze wieder gleich und sorge dafür, dass es eine doppelte Schnittstelle gibt:
a+x^2 = x |-x
x^2-x+a = 0 |Versuch das als Binom zu schreiben
x^2-2*1/2*x + a = 0
Binom: x^2-2*1/2*x+a = 0a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2
b kann als 1/2 identifziert werden -> b^2 = 1/4
Folglich muss a = b^2 = 1/4 sein, damit eine doppelte Schnittstelle vorliegt.
Die Berührtangente ist natürlich t(x) = x. Die Winkelhalbierende ist also gleichzeitig die Tangente.
Aufgabe 7
Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von f(x)= a x² + b den Graphen von g(x)=1/x bei x=1 berührt. Wie lautet die Gleichung der Beührtangente ?
Wenn f(x) bei x = 1 berühren soll, so muss f(x) durch g(1) = 1 durchgehen.
Die Steigung bei P(1|1) ist g'(x) = -1/x^2 -> g'(1) = -1
Also gilt auch f'(1) = -1
Mit f'(x) = 2ax+b lassen sich die beiden Gleichungen aufstellen:
2a = -1
a+b = 1
--> a = -1/2 und b = 3/2
Folglich lautet f(x) = -1/2x^2+3/2
Die Berührtangente ist y = -x+b, wobei sie durch P(1|1) geht:
1 = -1+b
b = 2
--> y = -x+2
Grüße
