Berührungstelle. Für welche a, b E R berühren sich die Graphen von f(x)=1/x und g(x)=ax^2+bx+1,5 bei x0=0,5?

Question

Aufgabe:

Nachgelieferter Text: Folgende Aufgabe verstehe ich nicht.

Für welche a, b E R berühren sich die Graphen von f(x)=1/x und g(x)=ax2+bx+1,5 bei x0=0,5?

Eine Berührungstelle bei x0 liegt vor, wenn die Funktionen dort den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.

liebe Community,

ich sitze gerade an meinen Mathematikhausaufgaben und komme bei Aufgabe 5 nicht weiter. Könnte mir jemand von euch helfen? Benötige diesen Stoff, für meine nächste Klausur. Ich danke im Voraus! Schönen Abend noch. :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Berührungstellen von Funktionen berechnen

Stichworte: funktion

folgende Aufgabe verstehe ich nicht.

Für welche a, b E R berühren sich die Graphen von f(x)=1/x und g(x)=ax^2+bx+1,5 bei x0=0,5?

Eine Berührungstelle bei x0 liegt vor, wenn die Funktionen dort den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.

Ich habe keine Ahnung, wie ich anfangen soll.

Kann mir jemand von euch helfen?

Mit freundlichen Grüßen!

Answer 1

Berechne den Anstieg von f(x) an der Stelle 0,5. Bilde nun die Ableitung von g(x) an der Stelle 0,5 und setze diese Ableitung gleich dem Anstieg von f(x) an der Stelle 0,5.

Wie sieht die Gleichung aus, die du dabei erhältst?

Answer 2

Eine Berührungstelle bei x₀ liegt vor, wenn die Funktionen dort den gleichen Funktionswert haben

du berechnest zuerst den Funktionswert von 0,5, also f(0,5)

Dieses Ergebnis setzt du = der Funktionsgleichung g(0,5)

$$f(0,5)=2\\ g(0,5)=0,25a+0,5b+1,5$$

Also

$$ 2=0,25a+0,5b+1,5$$

Das Gleiche machst du mit f'(0,5) und g'(0,5), denn

Eine Berührungstelle bei x₀ liegt vor, wenn die Funktionen dort die gleiche Steigung haben.

Du hast dann zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und kannst dieses Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl auflösen.

Kommst du damit weiter? Wenn nicht, frage nochmal nach.

Gruß, Silvia

Comments

Soweit erstmal verstanden, vielen Dank. Welches Lösungsverfahren könnte man denn benutzten, um es aufzulösen?

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Das ist dir überlassen. Ich habe das Einsetzungsverfahren gewählt.

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Welches Lösungsverfahren könnte man denn benutzten, um es aufzulösen?

1. Einsetzungsverfahren

2. Gleichsetzungsverfahren

3. Additionsverfahren

4. Determinantenverfahren

...

Eines sollte man mind. kennen und fehlerfrei anwenden können.

Answer 3

f'(0.5) = g'(0.5) → -4 = a + b

f(0.5) = g(0.5) --> 2 = a/4 + b/2 + 3/2

Ich erhalte als Lösung a = -10 ∧ b = 6

~plot~ 1/x;-10x^2+6x+1.5;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Answer 4

f(0,5) = 2  und f ' (0,5) = -4

==>  g(0,5) = 2 und g ' (0,5) = -4

==>  0,25a  +0,5b + 1,5 = 2 und  a + b = -4

Damit kannst du a und b ausrechnen.

Answer 5

f ( x ) = 1/x
f ´( x ) = -1/x^2
g ( x ) =  a*x^2 + b*x + 1.5
g ´( x ) = 2ax + b

f ( 0.5 ) = 2
f ´( 0.5 ) = -4
g ( 0.5 ) =  a*0.5^2 + b*0.5 + 1.5 = a*0.25 + b*0.5 + 1.5
g ´( 0.5 ) = 2a*0.5 + b = a + b

f ( 0.5 ) = g ( 0.5 )
f ´( 0.5 ) = g ´( 0.5 )

2 = 0.25*a + 0.5*b + 1.5
-4 = a + b

b = -4 - a
2 = 0.25*a + 0.5*(-4-a ) + 1.5
2 = 0.25*a - 2 - 0.5a  + 1.5
2.5 = - 0.25 a
a = -10

-4 = a + b
-4 = -10 + b
b = 6

Bitte kontrollieren.