a so bestimmen, dass sich die beiden Graphen f(x)=x²+a und g(x)=2x-x² berühren

Question

Bestimmen Sie a (Element: R) so, dass sich die Graphen der durch f(x) und g(x) gegebenen Funktionen berühren:

f(x)=x²+a und g(x)=2x-x²

Die Bedingung für eine Berührung ist : (1) : f(x)=g(x) und (2): die ersten Ableitungen von f(x) und g(x) müssen gleich sein. Ich komme trotz Theorie wissen nicht auf das richtige Ergebnis.

Answer 1

Hi,

Du hast schon den richtigen Ansatz. Setze das um:

f(x) = g(x)

f'(x) = g'(x)

 

x^2+a = 2x-x^2   (I)

2x = 2-2x             (II)

 

Aus (II)

4x = 2

x = 1/2

 

Damit in (I)

a = 2x-2x^2

a = 2*1/2 - 2*(1/2)^2 = 1-1/2 = 1/2

 

Also für f(x) = x^2+1/2 haben wir an x = 1/2 eine Berührstelle.

 

Grüße

Answer 2

f(x) = g(x) 
x^2 + a = 2·x - x^2
2·x^2 - 2·x + a = 0

Damit es nur eine Lösung gibt muss die Diskriminante der abc-Formel 0 sein.

b^2 - 4ac = 0
(-2)^2 - 4(2)(a) = 0
a = 1/2