Zwei Graphen berühren sich in den Hochpunkten

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f(x) = cos(x) und g(x) = 3cos(x)-2 im Intervall ¦-1,7¦. a)Nachweisen, dass die beiden Graphen sich in den Hochpunkten berühren.…b)  Die Fläche berechnen, die zwischen den beiden Hochpunkten von Graphen gebildet wird.

Aus der Zeichnung sind H1 (0¦1) ud H2 (2pi¦1) ablesbar.. Wie berechne ich über die Ableitungen die x-Werte 0 , pi und 2 pi?…Das Integral wird dann für das Intervall ¦0;2π¦ berechnet (f(x)-g(x)*dx)...

Answer 1

Differenzfunktion

d(x) = COS(x) - (3·COS(x) - 2) = 2 - 2·COS(x)

a) Nachweisen, dass die beiden Graphen sich in den Hochpunkten berühren

Die Kosinusfunktion hat dort ihre Extrempunkte bei denen die Sinusfunktion ihre Nullstellen hat. Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei k * pi. D.h. die Extremstellen der Kosinusfunktion liegen auch bei k * pi. Da aber immer ein Hoch und Tiefpunkt sich abwechseln ist nur jeder Zweite Extrempunkt ein Hochpunkt. Damit liegen die Hochpunkte bei k * 2 * pi. Nach einsetzen der x-Koordinaten ergibt sich auch der gleiche Funktionswert.

Einfacher ist aber anderer Weg. Die Differenzfunktion hat in den Berührpunkten Doppelte Nullstellen. Daher ist es einfacher hier die Nullstellen der Differenzfunktion sich anzusehen.

d(x) = 2 - 2·COS(x)

Dazu muss also der COS(x) = 1 sein. Also die Hochpunkte der Kosinusfunktion. Natürlich kennst du einen Hochpunkt mit x = 0 und auch alle weiteren anhand der Periodenlänge von 2pi. Damit dind die Berührpunkte bei k * 2 * pi.

b)  Die Fläche berechnen, die zwischen den beiden Hochpunkten von Graphen gebildet wird.

D(x) = 2·x - 2·SIN(x)

∫ (0 bis 2·pi) d(x) dx = D(2·pi) - D(0) = 4·pi - 0 = 4·pi