Bestimmen Sie die Konstante c so, dass sich die Graphen beider Funktionen berühren, d.h.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Funktionenf(x) = (x-4)/x sowie f(x)= 1/4x + c mit c ∈ R.

Bestimmen Sie die Konstante c so, dass sich die Graphen beider Funktionen berühren, d.h. dass f1(x)
und f2(x) genau einen Schnittpunkt miteinander besitzen.

Problem/Ansatz:

Ich komme eigentlich bis zum Schluss, habe es gleichgesetzt und das c herausgefunden,

c wäre -4 und 4,jedoch steht in der Lösung

P1(-4/2) und P2 (4/0)

Woher kommen die 2 und die null?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

jedoch steht in der Lösung P1(-4/2) und P2 (4/0)

Ignorier das was in der Lösung steht, wenn die Aufgabe lautet: "Bestimmen Sie die Konstante c so, dass sich die Graphen beider Funktionen berühren". Es sei denn es wird auch noch explizit nach dem Berührpunkt gefragt.

Die richtige Antwort wäre

c = 3 ∨ c = -1

was du an der Skizze von Sylvia auch bereits näherungsweise ablesen kannst.

Lösung:

(x - 4)/x = 1/4·x + c
x - 4 = 1/4·x^2 + c·x
4·x - 16 = x^2 + 4·c·x
x^2 + (4·c - 4)·x + 16 = 0

Diskriminante = 0

(2·c - 2)^2 - 16 = 0 --> c = 3 ∨ c = -1

Comments

Super danke dir für die Hilfe!

Aber irgendwie interessiert es mich schon wie man schlussendlich rechnerisch auf diese 2 und 0 kommt, weisst du das wie das geht?

Danke dir!

---

Du kannst natürlich fragen an welchen Stellen f1(x) die gleiche Steigung bestimmt wie f2(x). Damit bekommst du die Stellen -4 und 4.

Wenn du diese Stellen in f1(x) einsetzt erhältst du noch die y-Koordinaten.

Das kannst du doch prima in der Skizze sehen.

Answer 2

Hallo,

die beiden Graphen der Funktionen sollen sich berühren, das heißt die Gerade 1/4x + c soll Tangente in einem Punkt P von f1 sein.

Du suchst also einen Punkt, dessen Steigung = Ableitung 1/4 ist. Davon gibt es hier zwei, die Koordinaten der Punkte sind als Lösung genannt. Laut Aufgabenstellung sollst du dann aber noch c bestimmen.

Gruß, Silvia

Hier noch eine Skizze zur Veranschaulichung:

Answer 3

f ( x ) = ( x-4 ) / x
g (x)= 1/4x + c

Die Beiden Funktionen sollen sich berühren.
Die Steigung von g = 1/4

ersteinmal vereinfachen
f ( x ) =  1 - 4/x
f ´( x ) = 4/x^2

4 / x^2 = 1/4

Steigung gleich
x^2 = 16
x = 4 und
x = - 4

f ( 4 ) = 1 - 4/4 = 0

für g
g ( 4 ) = 1/4 * 4 + b = 0
b = -1

g ( x ) = 1/4 * x - 1
( 4 | 0 )

Für x = -4 dasselbe machen.