Berührpunkt der Graphen von f(x)= -x^3 + 4x^2 und h(x)= x^2+4 .

Question

Ich soll Berührpunkt und Schnittpunkt zweier Graphen ausrechnen. Gegeben :

f(x)= -x^3 + 4x^2

h(x)= x^2+4 .

Ich habe das Problem das ich beim ausrechnen der nullsteelen nicht weiß, wie ic die funktion ausklammern bzw. zerlegen soll. Kann mir da jemand Rat geben, wie ich das hinbekomme? Lg

Comments

Es muss gelten.

f(x) = h(x)

f '(x) = h '(x)

Im ersten Fall musst du eine Polynondivision durchführen und dabei die 1. Nullstelle raten:

-x^3+4x^2 = x^2+4

x^3 -3x^2+4 = 0

geratene Nullstelle: -1

x^3-3x^2+4 : ( x+1) = ...

Answer 1

f ( x ) = -x^3 + 4 * x^2
h ( x ) = x^2 + 4

Berührstelle
f ( x ) = h (x )
und
f ´ ( x ) = h ´ ( x )

Raten ist manchmal notwendig. Ich rechne erst einmal
die 2.Bedingung aus. Dies geht ohne Raten.

f ´( x ) = -3x^2 + 8*x
h `( x ) = 2*x

-3x^2 + 8*x = 2*x
- 3*x^2 + 6x = 0 
x * ( -3x + 6 ) = 0

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer Faktoren 0 ist.
x = 0
und
-3x + 6 = 0
x - 2 = 0
x = 2

Eingesetzt in die erste Bedingung
f ( x ) = h (x )
-x^3 + 4 * x^2 = x^2 + 4
-0^3 + 4*0^2 = 0^2 + 4
0 = 4 | falsch
-(2^3) + 4*2^2 = 2^2 + 4
-8 + 16 = 4 + 4
8 = 8 | Richtig

Bei x = 2  im Punkt ( 2  | 8 ) ist eine Berührstelle.

Comments

Super danke dir!! Das mit dem

Berührpunkt habe ich jetzt verstanden. Aber wie müsste  ich die schnittpunkte ausrechnen?

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Das ist wohl der schnellste Weg zur Lösung. Glückwunsch, Georg. Toll gelöst. Frohes (Rest)Fest. :))

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 Für den Schnittpunkt muss du die oben erwähnte Polynomdivision durchführen.

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Nein das geht leider nicht, da wir Polynomdivision nicht durchgenommen haben. Wir haben das mit der Linearfaktorzerlegung gemacht. Aber das verstehe ich nicht so ganz.

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Die Polynomdivision ist hier Voraussetzung für die Zerlegung in Linearfaktoren. Ohne sie kommst du hier nicht weiter.

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Oh okay ich hatte mich gewundert weil die funktion f(x)= x^3+3x^2-4 lautet und ich lange daran gessen habe und das nicht hinbekommen habe. Wie mache ich das denn mit der polynomdivision? Kann mir das einer grad erklären?

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Ohne Polynomdivision kommst du nicht weiter.

x³-3x²+4 : ( x+1) = x^2 - 4x + 4
x^2 - 4x + 4 ist die 2.binomische Formel

( x - 2 ) * ( x - 2 )
x³-3x²+4 = ( x + 1 ) * ( x - 2 ) * ( x - 2 )

Wenn du es jetzt hinbekommst den warte den Unterricht ab.
Mit der Zeit wirst du das auch lernen.

mfg Georg

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Hier die Polynomdivision



Wenn du´s erlenern willst
- den Unterricht abwarten oder
- ins Mathebuch schauen

Vielleicht gibt es hier bei Matheretter oder
im Internet ein Lernvideo.

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Gib einmal bei google

polynomdivision video

ein.

Answer 2

Die Zerlegung
$$ \begin{aligned} h(x)-f(x)&=0 \\ x^3 -3x^2+4 &= 0 \\ \left(x+1\right)\cdot\left(x-2\right)^2 &= 0 \end{aligned} $$ ist eigentlich recht offensichtlich, denn ebenso, wie durch systematisches Einsetzen \(x=-1\) als Lösung identifiziert wurde, lässt sich auch \(x=2\) als Lösung bestimmen. Eine dieser beiden Lösungen muss doppelte Nullstelle der Differenzfunktion \(h-f\) sein und das kann nur die zweite sein, da das Produkt der konstanten Glieder der Linearfaktoren 4 sein muss.

Damit liegt bei \(x=2\) der Berührpunkt und bei \(x=-1\) der andere Schnittpunkt.

Ableitungen, Polynomdivisionen und andere komplizierte Sachen werden nicht benötigt.

Gesegnete Weihnachtszeit!

Comments

Ja genau das meinte ich. Ich habe es mit dem einsetzen auch verstanden nur ich verstehe niht woher ich dnn weiss welche der Berührpunkt und welches der Schnittpunkt ist? Also ich dachte jtzt 2. und -1 sind beides Berühpunktr aber -1 ist ja der schnittpunkt. Wie unterscheide ich das?

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Der Unterschied zwischen Schnittpunkt und Berührpunkt ist,

dass am Schnittpunkt nur die Funktionswerte gleich sein müssen,

am Berührpunkt aber AUSSERDEM noch die gleichen

Steigungen (1. Ableitung) sein müssen.

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@georgborn

Ich bereite mich aufs Abitur vor und wiederhole Analysis. Wir haben es damals nicht gemacht,  daher fragte ich:)

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Die Berührstelle muss eine Nullstelle der Differenzfunktion \(h-f\) sein, die keinen Vorzeichenwechsel aufweist. Die andere Schnittstelle (ohne Berühreigenschaft) muss eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.

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Die Berühreigenschaft der Stelle \(x=2\) lässt sich an der faktorisierten Differenzfunktion
$$ \left(h-f\right)(x) = x^3-3x^2+4 = \left(x+1\right)\cdot\left(x-2\right)^2 $$ auch daran erkennen, dass der zugehörige Linearfaktor \((x-2)\) doppelt vorhanden ist.

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@ia181
@georgborn 

Ich bereite mich aufs Abitur vor und wiederhole Analysis. Wir haben
es damals nicht gemacht,  daher fragte ich:)

Dein Kommentar ist wahrscheinlich hier im Strang des anderen
Antwortgebers gelandet.