Apollonisches Berührproblem

Question

Ich habe eine Frage zu einer Konstruktionsaufgabe, die mit dem apollonischem Problem zusammenhängt:

Und zwar habe ich zwei Kreise k1 und k2 mit dem Radius r und habe die Punkte A und B konstruiert, wie sie in meiner Abbildung unten dargestellt sind. (Einfach die Schnittpunkte des Kreise z mit gleichem Radius wie k1 bzw. k2 mit dem Punkt, wo sich die zwei Kreise k1 und k2 berühren, als Mittelpunkt. Nun wird noch derPunkt C konstruiert, der Schnittpunkt der Kreise mit Mittelpunkt A bzw. B. Nun soll bewiesen werden, dass der Kreis k3 mit Mittelpunkt C und gleichem Radius r, die Kreise k1 und k2 nur in den Punkten A und B berührt und durch keinen anderen Punkt der Kreise geht.

Wie soll ich dies beweisen bzw. wie soll das apollonische Problem mir dabei helfen?

Answer 1

Zeige dazu das C B und der Kreismittelpunkt des Rechten Kreises auf einer Geraden liegen. Das sollte nicht das Problem sein. Zeichne dir ein paar Winkel ein die du berechnest.

Du kannst zeigen das der Winkel ACB genau 60 Grad misst.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Mir ist auch später eingefallen, dass die Dreiecke alle gleichseitig sind! Aber was heißt es nun wenn ich nun bewiesen habe, dasss der Winkel ACB genau 60° misst. Kann ich damit zeigen, dass sich alle drei Kreise nur berühren und nicht sich irgendwo schneiden?

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2 Kreise berühren sich genau dann, wenn der Abstand der Kreismittelpunkt genau der Summe der beiden Kreisradien entspricht.