Umkehrfunktion von y = Wurzel aus 1-x^2 bestimmen

Question

Ich soll die Funktion y = Wurzel aus (1-x²) in zwei umkehrbare Teilfunktionen aufspalten und dann die zugehörigen Umkehrfunktionen mit Definitions- und Wertebereich bestimmen.

Ich dachte an diese zwei Teilfunktionen:

- y = Wurzel aus (1-x²) mit D [-1,0]

- y = Wurzel aus (1-x²) mit D [0,1]

Diese beiden Teilfunktionen sind umkehrbar, weil sie die Eigenschaft der Injektivität erfüllen (ich erhalte keinen y-Wert zweimal).

Jetzt habe ich aber Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen. In der Lösung steht als Umkehrfunktion für die erste Teilfunktion:

y = -(Wurzel aus (1-x²))

Wie ich an das Minus vor dem ganzen Wurzelausdruck komme, verstehe ich nicht. Mein Weg:

y = Wurzel aus (1-x²)

y² = 1 - x²

y² + x² = 1

x² = 1 - y²

x = Wurzel aus (1 - y²)

Variablentausch:

y = Wurzel aus (1 - x²)

Was mache ich bitte falsch? :(

P.S.: Entschuldigt bitte die hässliche Schreibweise mit "Wurzel", mein Flash funktioniert nicht.

Answer 1

y = √(1 - x^2)

y^2 = 1 - x^2

x^2 = 1 - y^2

Achtung das lösen der Quadratischen Gleichung liefert 2 Lösungen

x = ± √(1 - y^2)

Comments

Uh, wie peinlich, dass ich das nicht berücksichtigt habe... -____-

Besten Dank!

Nur stellt sich mir jetzt die Frage: Wieso steht in der Musterlösung nur die negative Lösung?

Ist es deswegen, weil die positive Lösung einen anderen Wertebereich ergibt, und zwar eben nicht denjenigen, der aus der Umkehrung folgen müsste?

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ja. das ist richtig. das hängt vom wertebereich ab.

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Wieso steht in der Musterlösung nur die negative Lösung? 

Das können wir Dir verraten, sobald der vollständige Aufgabentext mit allen völlig nebensächlichen Zusatzbemerkungen vorliegt, die nicht so wichtig sind und deswegen nicht mitgepostet wurden.

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Gut, ich habe die Kritik verstanden... (:
"Spalten Sie die nachstehenden Funktionen in zwei umkehrbare Teilfunktionen auf und bestimmen Sie die zugehörigen Umkehrfunktionen mit Definitionsbereichen und Wertebereichen."
Mehr steht nicht.

Answer 2

$$ y=\sqrt{1-x^2} $$
$$ y^2=1-x^2 $$
$$ y^2-1=-x^2 $$
$$x^2=1-y^2 $$
$$x=\pm \sqrt{1-y^2 }$$
$$x_1=+ \sqrt{1-y^2 }$$
$$x_2=- \sqrt{1-y^2 }$$

Comments

Vielen Dank, das hätte ich wissen müssen. --____--:-)

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Nur die negative Lösung ist die Umkehrfunktion.

Die positive Lösung entspricht der Ursprungsfunktion.