Eine weitere Gleichung der Geraden angeben (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine weitere Gleichung der Geraden \( g; \vec{x} = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) + r · \cdot\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-2} \\ {7}\end{array}\right) \) an,

Ich habe keine Ahnung was zu machen ist. Ich habe daran gedacht einfach den Richtungsvektor linear zu erweitern durch 2. Dann hätte man doch schon eine weitere Gleichung. Aber darf man auch den Stützvektor linear erweitern oder überhaupt verändern? Weil der stützt doch die Gerade.

Answer 1

den Stützvektor darfst Du nicht erweitern, aber Du kannst ja einfach einen anderen Stützvektor nehmen (jeder Punkt auf der Geraden eignet sich dazu):

Statt g: x = (1|1|2) + r * (0|-2|7)
können wir durch Einsetzen von zum Beispiel 1 für r einen anderen Stützvektor finden, nämlich (1|-1|9); und wenn wir dann noch den Richtungsvektor zum Beispiel mit (-2) multiplizieren, sieht unsere alternative Darstellung schon ganz gut aus :-)

g: x = (1|-1|9) + r * (0|4|-14)

Besten Gruß

Comments

Das hört sich sehr gut an!

Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn sie mir den Schritt mit dem Stützvektor genauer erklären würden. Ich kann nicht genau nachvollziehen wie wir von (1|1|2) auf (1|-1|9) durch das einsetzten für 1 für den Parameter gekommen sind.

Woher weiß ich, dass der andere Stützvektor auf der Geraden ist? Also wie komme ich zu diesem neuen Stützvektor, der auch ganz sicher ein Punkt auf der Geraden ist?

Vielen Dank für die Mühe!

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Gern geschehen :-)

Die gegebene Geradengleichung lautet ja

g: x = (1|1|2) + r * (0|-2|7)

Man kann nun für r jeden beliebigen reellen Wert einsetzen und erhält einen Punkt der Geraden:

r = 1:

(1|1|2) + 1 * (0|-2|7) = (1|-1|9)

r = 2:

(1|1|2) + 2 * (0|-2|7) = (1|-3|16)

r = 3:

(1|1|2) + 3 * (0|-2|7) = (1|-5|23)

Oder auch

r = -1:

(1|1|2) - 1 * (0|-2|7) = (1|3|-5)

r = -2:

(1|1|2) - 2 * (0|-2|7) = (1|5|-12)

Jeder der fett markierten Punkte liegt auf der Geraden, und jeden dieser Punkte (und unendlich viele mehr, da r ja jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann) kannst Du deshalb auch als Stützvektor nehmen.

Zeichne Dir das doch einfach mal im 2D auf und nimm als Geradengleichung

g: x = (1|2) + r * (-2|7)

Wenn Du das dann genauso durchspielst, wie ich das eben gemacht habe, wirst Du die Systematik sehr schnell erkennen!

Besten Gruß

Answer 2

Das wäre schon eine richtige Antwort, wenn du den Richtungsvektor linear erweiterst.

Den Ortsvektor darfst du nicht multiplizieren. Aber du darfst zum Ortsvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors addieren.