Fläche und Umfang berechnen Kann es stimmten, dass die Kosten unter 8500 € lagen?

Question

Ein rechteckiges Areal von 900 m² hat je zwei parallele Nachbar- und Straßenseiten. Es wurde umzäunt, angeblich für 50 €/m die Nachbar- und für 100 €/m die Straßenseiten.

Kann es stimmten, dass die Kosten unter 8500 € lagen?

Niveau: 10 Klasse

Answer 1

Gehen wir mal zunächst von einem Rechteck aus - das ist einfacher - es könnte aber auch ein Parallelogramm sein!
$$ 900= a \cdot b $$
$$ 8500 \gt 50\cdot 2a +100 \cdot 2 b $$
Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit zwei "Gleichungen" und zwei Unbekannten.
Was würdest Du nun als nächstes tun ?

Comments

normalerweise a oder b allein stellen, damit man sie in die obere Gleichung einsetzen kann.

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8500 > 50*2a +100*2b // :2

4250 > 25*a+50*b // -25*a

4250-(25*a) > 50b

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$$ 900=a⋅b $$
auflösen nach b:
$$ b=\frac{900}a $$
$$8500>50⋅2a+100⋅2b $$
Wenn schon teilen, dann aber auch so richtig was geht:
$$85>a+2b $$
b einsetzen:
$$85>a+2\frac{900}a $$
wir nehmen mal an, dass a einen positiven Wert hat
$$85a>a^2+1800 $$
$$0>a^2-85a+1800 $$
und nun löse man die entstandene quadratische Gleichung

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ok a1 = 40 und a2=45

welches soll ich nun nehmen?

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Beide - bei sowas muss man so oder so eine Proberechnung machen, um zu gucken, obs sinnvolle Werte ergibt.

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Gehen wir mal zunächst von einem Rechteck aus - das ist einfacher -
es könnte aber auch ein Parallelogramm sein!

In der Fragestellung hieß es bereits " Ein rechteckiges Areal "

Answer 2

a * b = 900

Anstelle von

2 * a * 50 + 2 * b * 100 > 8500
verwende ich
2 * a * 50 + 2 * b * 100 = 8500
Dies ist der Grenzwert.

a = 900 / b
2 * a * 50 + 2 * b * 100 =  8500  | : 100
a  + 2 * b =  85

900 / b  + 2 * b  = 85
900 + 2 * b^2 = 85 * b
2 * b^2 - 85 * b = -900
b = 20
b = 22.5

a * b = 900
a * 20 = 900
a = 45 m | b = 20 m

a * b = 900
a * 22.5 = 900
a = 40  m | b = 25 m

Für die beiden Lösungen sind die Kosten 8500 €

Punktprobe für die Mitte
a = ( 45 + 40 ) / 2 = 42.5
42.5 * b = 900
b = 21.18 m
2 * a * 50 + 2 * b * 100
2 * 42.5 * 50 + 2 * 21.18 * 100
7600 + 4236 = 11836 €

Erkenntnis : liegt a zwischen 40 m und 45 m
sind die Kosten höher als 8500 €.