Zeigen Sie: Unter allen Dreiecken D mit festem Umfang hat das gleichseitige den größten Flächeninhalt.

Question

Es sei \( D \) ein ebenes Dreieck mit den Seitenlängen \( a, b, c>0 \), Umfang \( u:=a+b+c \) und Flächeninhalt
$$ F:=\frac{1}{4} \sqrt{u(u-2 a)(u-2 b)(2(a+b)-u)} $$
Zeigen Sie: Unter allen Dreiecken \( D \) mit festem Umfang hat das gleichseitige den größten Flächeninhalt.

Hat hier jemand eine Idee wie ich das beweisen kann? Mir ist zwar klar, dass es stimmt, aber einen Beweis krieg ich irgendwie nicht hin.

Answer 1

Du könntest die Partiellen Ableitungen nach a und b gleich 0 setzen und das Gleichungssystem lösen.

Du erhältst eine mögliche sinnvolle Lösung. Welche ist das?

Comments

ok habe ich jetzt gemacht. ich habe nun raus

b(4b-3u)=a(4a-3u)

zeigt mir das nun, dass das nur aufgeht, wenn a=b ist?

Oder habe ich etwas falsch gemacht.

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Da u ja fest ist, müsste das ja eigentlich so sein, dass die Gleichung nur für a=b aufgeht. Aber warum genau zeigt das das damit der größte Flächeninhalt erreicht wird? Das verstehe ich noch nicht ganz :/