Rechenregel für Exponent vom Exponent

Question

Welche Rechenregel erlaubt es mir den Term so umzuformen:

\( 3^{2^{k+1}}-1=\left(3^{2^{k}}\right)^{2}-1 \)

Comments

(a^b)^c = a^{b*c}

2^{k+1} = 2^k*2

Answer 1

3^{2^{k+1}} =

3^{2^k * 2}

Und da a^b*c = (a^b)^c

ist dieser Term gleich

(3^{2^k})²

Besten Gruß

Answer 2

Wenn der Exponent ein Produkt ist, darfst du den Exponenten als Potenz schreiben.

$${ 2 }^{ 8 }={ 2 }^{ 2\cdot 4 }={ \left( { 2 }^{ 2 } \right)  }^{ 4 }={ \left( { 2 }^{ 4 } \right)  }^{ 2 }=256$$

Ausserdem ist 2ⁿ⁺¹ = n * 2ⁿ

Answer 3

Dann noch die Variante rückwärts
Ersetzen : 2^k = a
(3^a)^2 = 3^a * 3^a = 3^{2a}
zurückersetzt ( jetzt nur der Exponent  )
2a => 2 * 2^k = 2^1  * 2^k = 2^{1+k} = 2^{k+1}
Insgesamt (3^2)^{k+1}