Haushaltstheorie - Nebenbedingung und Ableitungen

Question

Wir haben gerade das Thema der Haushaltstheorie (Lagrage-Funktion bei Cobb-Douglas-Funktion).

Ich hänge bei der Bildung der Nebenbedingung und der Bildung der partiellen Ableitungen.

Gegeben sind:
1. Nutzenfunktion  U=10x₁^0,5 * x₂^0,6
2. Die Preise  p₁ = 8 und p₂ = 12

Gesucht ist:
Das Nutzenmaximum bei einem Budget von 440€

Ist die Nebenbedingung -> 440 = 8x₁^0,5 * 12x₂^0,6 ???

Wie ich die Lagrage-Funktion bilde weiß ich, aber wie komme ich auf die partiellen Ableitungen (die 3. ist ja nur die Nebenbedingung, aber wie komme ich auf die ersten beiden)?

I Ableitung: Ableiten der Lagrage-Funktion nach x₁
II Ableitung: Ableiten der Lagrage-Funktion nach x₂

!!! Bitte mit Rechenweg, damit ich es verstehe !!!

Answer 1

Text erkannt:

\( U(x, y)=10 x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{5}} \)
\( 8 x+12 y=440 \)
\( U(x, y, \lambda)=10 x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{5}}+\lambda \cdot\left(x+\frac{3}{2} y-55\right) \)
\( \frac{d U(x, y, \lambda)}{d x}=\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot y^{\frac{3}{3}}+\lambda \)
\( \frac{d U(x, y, \lambda)}{d y}=10 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\frac{3}{5}}{y^{\frac{2}{5}}}+\frac{3}{2} \lambda \)
1. \( \int \frac{5 \cdot y^{\frac{3}{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}+\lambda=0 \mid \cdot \frac{3}{2} \)
2. \( \int \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2}{5}}}+\frac{3}{2} \lambda=0 \)
1. \( \int \frac{7,5 \cdot y^{\frac{3}{5}}}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{3}{2} \lambda=0 \)
\( \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2}{5}}}=\frac{7,5 \cdot y^{\frac{3}{5}}}{x^{\frac{1}{2}}} \)
\( 6 x=7,5 y \rightarrow y=\frac{4}{5} x \)
3. \( ) x+\frac{6}{5} x-55=0 \)
\( x=25 \rightarrow y=20 \)
\( 20^{\frac{3}{5}}+\lambda=0 \)
\( \lambda \approx-6.03 \)
\( U=10 \cdot 25 \frac{1}{2} \cdot 20 \frac{3}{5} \approx 301,7 \)
mfG
Moliets