Hatte bei der Aufgabe einige Schwierigkeiten wär super wenn wer einen Blick drüberwerfen könnte. Rechenweg sowie Angaben sind angeführt. Vielen Dank und LG
Aufgabe
Ein Unternehmen weist folgende
Produktionsfunktion \( F(K, L) \) mit den Inputfaktoren \( K \) für Kapital und \( L \) für Arbeit auf
\( F(K, L)=K^{0.1}+L \)
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \( p_{K}=0.45 \) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \( p_{L}=3 \). Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von \( 370 \mathrm{ME} \) produziert werden soll.
a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( K \) im Kostenminimum? K=369,04405
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( L \) im Kostenminimum? L=0,637299
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum? Lambda= 3
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? 1107,42 (gerundet)
Problem/Ansatz:
Meine Berechnungen:
Lagrange
\( C\left(x, y\right)=0,45 x+3 y \)
\( F(x, y)=x^{0,1}+y=30 \Rightarrow x^{0,1}+y-370=0 \quad \)
\( L\left(x, y, L\right)=0,45 \cdot x+3 y-\lambda\left(x^{01}+y-370\right) \)
\( \left.=0,45 \cdot x+3 y-\lambda^{10} \sqrt{x}-\lambda y+320 \lambda\right) \)
\( L^{\prime}(x): \quad 0,45-\frac{\lambda}{10 \sqrt[10]{x^{9}}}=0 \quad \Rightarrow \lambda=4,5 \cdot \sqrt[10]{x^{9}} \)
\( L^{\prime}(y): \quad 3-\lambda \quad \Rightarrow \lambda=3 \)
\( \lambda=\lambda\)
\( \begin{array}{l}3=4,5 \cdot \sqrt[10]{x^{4}} \\ \frac{2}{3}=\sqrt[10]{x^{9}}\end{array} \Rightarrow x=\frac{2 \sqrt[9]{13.122}}{9}= \)
\( x=0,637299=L \)
nach \( \lambda \) ableiten: \( -\sqrt[10]{x}-y+320=0 \)
\( +x \) einsetzen
\( \begin{aligned}-\sqrt[10]{x}+370 &=y \\-\sqrt[10]{0,637299}+370 &=y \end{aligned} \)
\( 369,04405=y=k \)
Minimalen Kosten:
C(0,637299 ; 369,04405) &=0,45 \cdot 0,637299+3 \cdot 369,04405=\\
&=1107,41893455 \\
&=1107,42
\end{aligned}
\)
