Lagrange Methdode: Punkte der Hyperbel x^2-y^2=1 mit kleinsten Abstand zu P=(0;1)

Question

Bestimmen Sie mit der Lagrange Methode, diejenigen Punkte der Hyperbel x^2 - y^2 =1 mit dem kleinsten Abstand zu P=(0;1)

Als Zielfunktion habe ich: x^2-y^2=1 gewählt.
Meine Nebenfunktion: d^2= (x-0)^2 + (y-1)^2
Folglich lautet meine Lagrange Formel: L(x,y,λ)= x^2+(y-1)^2 +λ(x^2-y^2-1)

Die Ableitungen habe ich dann partiell so gebildet:

Lx= 2x-2xλ
Ly= 2y-2+2yλ
Lλ= x^2-y^2-1

Insofern obiges richtig ist, stellt sich mir nun die Frage, wie ich weiter verfahren kann? Ich schaffe es nicht eine Variable zu determinieren und komme wenn dann auf das Ergebnis 1=0. Ohne die Lagrange Methode konnte ich die Aufgabe lösen.

Answer 1

Lagrange hast du richtig aufgestellt. Aber Achtung. Du hast vom Namen Zielfunktion und Nebenbedingung falsch benannt gehabt.

L(x, y, k) = (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + k·(x^2 - y^2 - 1) 

Ich lasse das nur mal von meinem Freund Wolfram lösen. Der macht das schneller.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Minimize%5B%7B(x+-+0)%5E2+%2B+(y+-+1)%5E2,+x%5E2+-+y%5E2+%3D%3D+1%7D,+%7Bx,+y%7D%5D

Das sollte deine Kontroll-Lösung sein. Probiere jetzt selber mal dahin zu kommen.

Du setzt alle gemachten ableitungen gleich 0 und hast ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Das solltest du lösen können.

Answer 2

Bestimmen Sie mit der Lagrange Methode, diejenigen Punkte der Hyperbel \(x^2 - y^2 =1\) mit dem kleinsten Abstand zu \(P(0|1)\)

Zielfunktion \(d^2= (x-0)^2 + (y-1)^2\) soll minimal werden. NB: \(x^2 - y^2 =1\)

\(L(x,y,λ)=x^2+(y-1)^2+λ(x^2 - y^2 -1)\)

1.)  \(L_x(x,y,λ)=2x+2λx\)

2.) \(L_y(x,y,λ)=2(y-1)-2λy\)

3.) \(L_λ(x,y,λ)=x^2 - y^2 -1\)

1.)  \(2x+2λx=0\)  → \(x+λx=0\) →  \(x(1+λ)=0\)       \(x=0\)      \(λ=-1\) 

2.) \(2(y-1)-2λy=0\)  → mit \(λ=-1\)  :    \(y-1+y=0\) → \(y= \frac{1}{2} \) 

3.)

\(x^2 - y^2 =1\)       \(x^2 - \frac{1}{4} =1\)

\(x_1 =\frac{1}{2}\sqrt{5}\)  oder   \(x_2 =-\frac{1}{2}\sqrt{5}\)