Bestand der Population von Walen. Logistischer Wachstumsprozess.

Question

Der Bestand einer Population von Walen wird in regelmäßigen Abständen von Tierschützern beobachtet und geschätzt. Dabei ergaben sich für die Jahre zwischen 1998 und 2007 folgende Bestände:

Jahr	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2005	2007
Anzahl der Wale	430	500	590	720	850	1020	1200	1440	1720	2030

a) Welche Funktion beschreibt den Bestand an Walen ab 1998 , wenn man exponentielles Wachstum voraussetzt? Wie groß wäre nach diesem Modell der Bestand im Jahr 2020?

b) Aufgrund des begrenzten Nahrungsangebots ist es sinnvoll, langfristig von einem logistischen Wachstumsprozess auszugehen. Auf wie viele Wale kann bei einem logistischen Modell die Population höchstens anwachsen? In welchem Jahr wäre die momentane Wachstumsrate am größten?

c) Aufgrund klimatischer Veränderungen wird das Nahrungsangebot immer knapper. Ein meeresbiologisches Institut geht deshalb davon aus, dass sich die Entwicklung des Bestands besser durch die Differenzialgleichung \( f^{\prime}(t)=0,174 \cdot f(t)-0,6000029 \cdot(f(t))^{2} \) mit \( t \) in Jahren ab 2007 beschreiben lasst. Welchen Walbestand erhalten Sie mit diesem Modell für das Jahr 2020, welche Hochstzahl für den Walbestand erwarten Sie?

d) Zeichnen Sie die Graphen der drei verschiedenen Wachstumsfunktionen aus den obigen Teilaufgaben in ein gemeinsames Koordinatensystem. Vergleichen Sie die Modelle miteinander.

Answer 1

Hi,
Du hast ja folgende Dgl.
$$ y'(t)=\alpha \cdot f(t)-\beta \cdot [y(t)]^2  $$
Die löst man durch Trennung der Variablen und kommt auf folgenden Ausdruck
$$ \int \frac{dy}{\alpha \cdot y-\beta \cdot y^2}=t+C $$
Durch integrieren (Partialbruchzerlegung) und auflösen nach \( y(t) \) kommst Du auf
$$ y(t)=\frac{\alpha}{\beta+C'e^{-\alpha t}} $$
mit einer Integrationskonstanten \( C' \) die aus der Anfangsbedingung \( y(2007)=2030 \) bestimmt wird.

In der Grafik ist der Verlauf der Entwicklung zu sehen. Ich habe die alten Werte von 1998 bis 2007 ebenfalls eingezeichnet. Man sieht, die Dgl. aproximiert den Verlauf sehr gut.

Für \( \alpha \) und \( \beta \) habe ich folgende Werte angenommen, \( \alpha =0.174 \) und \( \beta=0.0000029 \) das war aber sehr schlecht zu lesen.