Aufgabe:
Eine Norm ist definiert als eine Abbildung \( { }^{1}\|\cdot\|: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} \), welche die folgenden Elgenschaften
- \( \|x\| \geq 0 \) und \( \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 \)
- \( \|\lambda x\|=|\lambda|-\|x\| \)
- \( \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\| \)
Zeige, dass die 1-Norm, definiert durch \( \|x\|_{1}:=\sum \limits_{i=1}^{d}\left|x_{i}\right| \), eine Norm auf \( \mathbb{R}^{d}, d \in \mathbb{N} \), definiert, d.h., dass die drei Eigenschaften einer Norm erfüllt sind.
Ab nun wird - so nicht anders vermerkt - nur noch die 2-Norm verwendet, i.e. \( \|x\|_{2}:=\left(\sum \limits_{i=1}^{d}\left|x_{i}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \)
