Beweisformulierung Positivität der Supremumsnorm

Question

Ich würde gerne die drei Eigenschaften (Positivität, Multiplikativität bzgl. λ ∈ ℂ und Dreiecksungleichung) beweisen. Bisher habe ich die beiden letzteren Eigenschaften bewiesen.

Dass Positivität gilt ist mir klar, nur weiß ich nicht genau, wie ich es mathematisch schön formulieren kann, so wie bei den anderen Beweisen. 

Für f: D → ℂ

Also: zz.: ||f||_∞ ≥ 0 ; ||f||_∞ = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D

Meine Idee wäre jetzt:

||f||_∞ = sup_{x∈ D} |f(x)| ≥ 0 und sup_{x∈ D} |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D (Da Der Betrag nach Definition Positivität erfüllt)

⇒ ||f||_∞ ≥ 0; ||f||_∞ =  sup_{x∈ D} |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D

Würdet ihr das so unterschreiben?

Vielen Dank fürs drüber schauen.

Answer 1

Für f: D → ℂ

Also: zz.: ||f||_∞ ≥ 0 ; ||f||_∞ = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D

Meine Idee wäre jetzt:

||f||_∞ = sup_{x∈ D} |f(x)| ≥ 0

weil das Supremum einer Menge von Zahlen größer oder gleich 0 gebildet wird,

und das kann nicht negativ sein.

und sup_{x∈ D} |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D (Da Der Betrag nach Definition Positivität erfüllt) 

für jedes x aus D gilt f(x) ≤ sup_{x∈ D} |f(x)| . Da aber < nicht möglich ist, weil in der Menge
alles Beträge sind, und die sind nie negativ.

⇒ ||f||_∞ ≥ 0; ||f||_∞ =  sup_{x∈ D} |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀ x ∈ D

Comments

Okay, also abgesehen davon, dass in der Antwort nichts anderes steht, als was ich in meiner Idee schon formuliert habe:

"weil das Supremum einer Menge von Zahlen größer oder gleich 0 gebildet wird,

und das kann nicht negativ sein."

-> Diesen Satz kann ich leider so nicht hinnehmen. Das Supremum kann doch genauso gut negativ sein, wenn man eine Menge von Zahlen gegeben hat, die nur negative Elemente enthält. (Supremum -> kleinste obere Schranke).
Das einzige, was hier auf Positivität schließen kann ist der Betrag, oder irre ich mich da etwa? ;)

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eben, deshalb mein Arbument

einer Menge von Zahlen größer oder gleich 0

meint: 

einer Menge von Zahlen, die alle größer oder gleich 0 sind.

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Dann haben wir ja geklärt, dass dein Argument für nichtsahnende missverständlich ist, und es in Ordnung ist, wenn ich die Beweise auf die Eigenschaften des Betrags zurück führe.

Wollte ja eigentlich nur eine kleine Bestätigung haben.

Danke.