Parallelogramm mit kleinstem Umfang bei gleichbleibender Fläche

Question

Guten Tag allerseits.
Welches Parallelogramm mit der Fläche 18cm² hat den kleinsten Umfang? Gesucht sind die Längen und die Höhe dazu.
Danke
Freundliche Grüsse
MO

Comments

Ist das eine Extremwertaufgabe, die du mit Differentialrechnung lösen sollst, oder darfst du sie 'logisch' lösen?

Es müsste ein Spezialfall eines Parallelogramms rauskommen: Nämlich ein Quadrat mit Seitenlänge und Höhe √18 cm = 3√2 cm.

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Ich darf sie logisch lösen.

Answer 1

Welches Parallelogramm mit der Fläche 18cm² hat den kleinsten Umfang? Gesucht sind die Längen und die Höhe dazu. 

"Ich darf sie logisch lösen."

Eine Möglichkeit wäre Grundseite 9 cm und die Höhe 2 cm. Da wäre dann die 2. Seite grösser oder gleich 2 cm und der Umfang mindestens 2(9+2) cm = 22cm. Das Minimum beim Rechteck mit den Seiten 9 cm und 2 cm.

Weitere Möglichkeit. Grundseite 6 cm und Höhe 3 cm. Kleinsten Umfang bei Grundseite 6cm hat das Rechteck mit Umfang 2*(6+3) cm = 18cm.

Die Aufteilung von Grundseite und Höhe muss so sein, dass möglichst beide Strecken gleich lang sind. Also: g*h= 18. g+h wird minimal, wenn g=h. 

==> g^2= 18 ==> g = √18 = 3*√2

Wiederum sind die rechten Winkel optimal. Daher ist das Quadrat mit Seitenlänge g=3√2 cm optimal. Der zugehörige Umfang misst dann u= 12√2 cm.