Ist der Graph der Funktionsgleichung h(x)= x²+px+q symmetrisch?

Question

Wie kann man an der Funktionsgleichung von h(x)= x²+px+q erkennen, ob der Graph von h symmetrisch zur y-Achse verläuft? Begründe bitte!

Können SIe mir helfen

Answer 1

Falls nur gerade Exponenten vorkommen, ist h(x) symmetrisch zur y-Achse. Falls nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph symmetrisch zum Ursprung. Falls sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. In diesem Fall:

h(x)=x^2+px+q ist für p=0 symmetrisch zur y-Achse und für p≠0 nicht symmetrisch zur y-Achse, denn:

Für p=0 gilt h(x)=x^2+0x^1+qx^0=x²+qx⁰=x^2+q (nur gerade Exponenten)

Für p≠0 gilt h(x)=x²+px¹+qx⁰=x^2+px+q (sowohl gerade als auch ungerade Exponenten)

Answer 2

Das ist eine allgemeine Parabelgleichung.

Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse, falls ihr Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, also die Koordinaten ( 0 | …) hat.

Allgemein sind die Scheitelpunktskoordinaten dieser Parabel bei ( -p/2 | … ) vgl. andere Aufgabe von Sanusha.

Nun 0 = -p/2 nach p auflösen.  |*(-2)

(-2)*0 = 0 = p

Die y-Achse ist Symmetrieachse genau dann, wenn p=0 gilt, also die Gleichung der Parabel y = x^2 + q lautet.