Integralrechnung Strassenbahnen erreichen bei trockenem Wetter eine Bremsverzögerung von 2.5m/s^2.

Question

Straßenbahnen erreichen bei trockenem Wetter eine Bremsverzögerung von \( 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} . \) Eine Straßenbahn bremst bei einer Ausgangsgeschwindigkeit von \( 36 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \).

a) Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit der Straßenbahn in m/s zuordnet.

b) Berechne, wie lange es dauert, bis die Straßenbahn zum Stillstand kommt.

c) Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges.

Answer 1

a) du sollst erstmal eine Funktion für die Geschwindigkeit des Zuges v in Abhängigkeit der Zeit t aufstellen.

Hintergrundwissen:

A) Die Bremsung kann als negative Beschleunigung aufgefasst werden (der Zug wird immer langsamer also nimmt die Geschwindigkeit mit der Zeit ab). Die Bremsverzögerung ist in der Aufgabe konstant, das heisst jedes Sekunde verliert der Zug gleichviel Geschwindigkeit. => Deine Geschwindigkeitsfunktion ist eine Gerade, der Form

v(t) = m*t + b

wobei m deine Bremsverzögerung ist.

B) Die Bremsung ist in m/s² angegeben, die Geschwindigkeit in km/h. Wenn wir beides in Zusammenhang bringen wollen, dann rechnen wir die Geschwindigkeit zuerst in m/s um

36 km/h = 36000 m/h = 36000 m / 60 Minuten = 36000 m/ 3600 Sekunden = 10 m/s.

Aus der Aufgabenstellung:

Anfangsgeschwindigkeit 36 km/h => v(0) = 10 m/s => b = 10 m/s

Konstante Bremsverzögerung 2,5 m/s² => m = -2,5 m/s²

zu Aufgabe b)

Wann bleibt der Zug stehen bedeutet, bei welcher Zeit (t) ist die Geschwindgkeit gleich 0 (v(t) = 0) ?

zu Aufgabe c)

Der Bremsweg ist das Integral der Geschwindigkeitsfunktion. Du sollst also das Integral deiner Funktion vom Anfangszeitpunkt bis zum Stillstand berechnen.

Answer 2

a.)  v ( t ) = 10 m/s - t * 2.5 m/s^2
b.)  v = 0 m/s
0 = 10 - t * 2.5
t = 4 sec

c.)
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt
s ( t ) = ∫ 10  - t * 2.5  dt
s ( t = = 10 * t - ( t^2 / 2 ) * 2.5
s ( t ) = 10 * t - 1.25 * t^2 

S ( 4 ) = 10 * 4 - 1.25 * 4^2 
S ( 4 ) =  20 m