Funktionenschar - x^3-ax^2-x+a Nullstellen?

Question

f_a(x) = x³-ax²-x+a

also würde es a

x³-ax²-x+a = 0

heissen, um Nullstellen zu berechnen.

Wie berechnet man hiervon die Nullstellen? Muss man das irgendwie mit der Polynomdivision machen? Wie geht das?

Answer 1

ne Polynomdivision kannst Du machen. Hier ists aber wesentlich einfacher kurz die Augen aufzumachen. Es sticht geradezu heraus^^.

x³-ax²-x+a= 0

x^2(x-a) - (x-a) = 0

(x-a) * (x^2-1) = 0

Nullstellen kann man nun ablesen (letzteres ist die dritte binomische Formel)

x₁ = a

x_2,3 = ±1

Alles klar? :)

Grüße

Comments

Sehr schön, das gibt 'nen Daumen für Dich und ein Bookmark für mich :-)

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Haha, danke Dir ;).

Ich hoffe Du bist nicht erblindet^^.

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Nein, ich wurde erleuchtet aber nicht geblendet :-D

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okay, und wenn man das Extrema berechnet, ist dann die erste Ableitung:

3x²-2ax-1 ?

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Das ist korrekt :).

f'(x) = 3x²-2ax-1

Answer 2

\(f(x)=x^3-a*x^2-x+a\)

Ich nehme mal \(a=0\)

\(f(x)=x^3-x\)

Nullstellen:

\(x^3-x=0\)

\(x*(x^2-1)=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\(x_1=0\)   \(f(0)=0^3-a*0^2-0+a=a\)

\(x_2=-1\)   \(f(-1)=(-1)^3-a*(-1)^2-(-1)+a=-1-a+1+a=0\)

\(x_3=1\)     \(f(1)=1^3-a*1^2-1+a=1-a-1+a=0\)

Es liegen also immer bei \(x=+-1\) die Nullstellen.

Die weiteren Nullstellen lassen sich nun mit der Polynomdivision finden:

   \((x^3-a*x^2-x+a):(x^2-1)=x-a\)

\(-(x^3-x)\)

..............

         \(-ax^2+a\)

   \(-(-ax^2+a ) \)

..............................

           0

Die 3. Nullstelle liegt bei \(x=a\)